[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”50px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]
Latihan Ruang Metrik
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ admin_label=”Blog” _builder_version=”4.2.2″][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Soal-soal berikut merupakan soal mengenai metrik. Untuk mengakses materi mengenai ruang metrik, silakan kunjungi laman berikut.
[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Soal” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
- Tunjukkan fungsi $d : \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dengan $$d(\bar{x},\bar{y})=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$$ untuk setiap $\bar{x}=(x_1, x_2), \bar{y}=(y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2$ merupakan metrik pada $\mathbb{R}^2$.
- Jika $C[0,1]$ adalah himpunan semua fungsi kontinu dari $[0,1]$ ke $\mathbb{R}$, tunjukkan fungsi $d_\infty: C[0,1]\times C[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ denganJika $C[0,1]$ adalah himpunan semua fungsi kontinu dari $[0,1]$ ke $\mathbb{R}$, tunjukkan fungsi $d_\infty: C[0,1]\times C[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ dengan $$d_\infty(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|: x \in [0,1]\}, \text{ untuk setiap } f, g \in C[0,1]$$ merupakan metrik pada $C[0,1]$.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Jawaban:
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]1. Karena akar kuadrat dari suatu bilangan adalah adalah suatu positif, maka untuk setiap $\bar{x}, \bar{y} \in \mathbb{R}^2$ berlaku $d(\bar{x}, \bar{y}) \geq 0$.
Tinggal ditunjukkan fungsi $d$ memenuhi sifat definit positif, simetris, dan ketaksamaan segitiga.
(M2) Untuk setiap $\bar{x}, \bar{y} \in \mathbb{R}^2$ \[\begin{array}{llll} d(\bar{x}, \bar{y})=0 &\Leftrightarrow& \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}=0\\ & \Leftrightarrow&(x_1-y_1) =0 \text{ dan } (x_2-y_2)=0\\ &\Leftrightarrow& x_1= y_1 \text{ dan } x_2 =y_2. \end{array}\]
(M3) Untuk setiap $\bar{x}, \bar{y} \in \mathbb{R}^2$ \[\begin{array}{ll} d(\bar{x}, \bar{y}) &= \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\\ & = \sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}\\ & = d(\bar{y}, \bar{x}). \end{array}\]
(M4)Untuk meunjukkan fungsi $d$ memenuhi sifat ketaksamaan segitiga, kita menggunakan Teorema ketaksamaan Minkowski.
Teorema (Minkowski Teorema)
Jika $1 \leq p < \infty$ maka \[(\sum_{i=1}^n |p_i-q_i|^p)^{1/p} \leq (\sum_{i=1}^n |p_i|^p)^{1/p} + (\sum_{i=1}^n |q_i|^p)^{1/p}. \]
Diambil $p=2$ , $n=2$, $p_i = (x_i-z_i)+(z_i-y_i)$ dan $q_i =(z_1-y_1))+(z_2-y_2)$ untuk $i =1, 2$ maka \[\begin{array}{ll} d(\bar{x}, \bar{y}) & = \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\\ & =(\displaystyle\sum_{i=1}^2 (x_i-y_i)^2)^{1/2}\\ & = (\displaystyle\sum_{i=1}^2 (((x_i-z_i)+(z_i-y_i))-((z_1-y_1))+(z_2-y_2))^2 )^{1/2}\\ & \leq \sqrt{(x_1-z_1)^2+(x_2-z_2)^2} + \sqrt{(z_1-y_1)^2+(z_2-y_2)^2}\\ & = d(\bar{x}, \bar{z}) +d(\bar{z},\bar{y}). \end{array} \]
Jadi terbukti $d(\bar{x},\bar{y})=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$ metrik pada $\mathbb{R}^2$
[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
2.Karena supremum dari nilai mutlak selalu positif maka untuk setiap $f, g \in C[0,1]$ berlaku $d_\infty(f,g) \geq 0$. Tinggal ditunjukkan fungsi $d$ memenuhi sifat definit positif, simetris, dan ketaksamaan segitiga.
(M2) Diambil sebarang $f, g \in C[0,1]$, maka \[\begin{array}{lll} d_\infty(f, g)=0 & \Leftrightarrow & \sup\{|f(x)-g(x)|: x \in [0,1]\} =0 \\ & \Leftrightarrow & |f(x)-g(x)|=0 \text{ untuk setiap } x \in [0,1].\\ & \Leftrightarrow & f(x) =g(x) \text{ untuk setiap } x \in [0,1].\end{array}\]
(M3) Diambil sebarang $f, g \in C[0,1]$, maka \[\begin{array}{lll} d_\infty(f, g) & = \sup\{|f(x)-g(x)|: x \in [0,1]\} \\ & =\sup\{|g(x)-f(x)|: x \in [0,1]\} \\ & = d_\infty(g, f). \end{array}\]
(M4) Akan ditunjukkan ketaksamaan segitiga. Diambil sebarang $f, g, h \in C[0,1]$. \[\begin{array}{ll} d_\infty(\bar{x}, \bar{y}) & = \sup\{|f(x)-g(x)|: x \in [0,1]\}\\ & \leq \sup\{|f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|: x \in [0,1]\}\\ & \leq\sup \{|f(x)-h(x)|: x \in [0,1]\}+ \sup \{|h(x)-g(x)|: x \in [0,1]\}\\ & = d_\infty(f, h)+d_\infty(h,g). \end{array} \]
Jadi terbukti $d(f, g)=\sup\{|f(x)-g(x)|: x \in [0,1]\}$ metrik pada $C[0,1]$
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]
Mari Belajar Bersama Kami!
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]