[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”60px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]

Barisan Cauchy

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”3.22″][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”91px|||||” custom_padding=”|4px||||”]

Pada artikel barisan konvergen, telah dijelaskan bagaimana definisi suatu barisan konvergen. Permasalahan yang sering ditemui pada barisan konvergen adalah menentukan limit barisannya. Pada sistem bilangan real, barisan Cauchy menjadi salah satu alternatif untuk menyimpulkan kekonvergenan suatu barisan, tanpa perlu mencari limit barisannya. Barisan Cauchy diperkenalkan oleh seorang matematikawan Perancis bernama Augustin-Louis Cauchy. Secara geometris, pada barisan Cauchy ditandai dengan jarak di antara suku-sukunya semakin lama semakin mengecil. Hal tersebut dituangkan dalam definisinya sebagai berikut.

[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/10/Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg” _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”||0px|119px||”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”3.25″ background_size=”initial” background_position=”top_left” background_repeat=”repeat”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”3.0.47″ custom_padding=”|||” custom_padding__hover=”|||”][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Barisan Cauchy” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]

Barisan bilangan real $(x_n)$ disebut barisan Cauchy jika untuk setiap $\epsilon >0$, ada $n_0 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga untuk setiap $n,m \geq n_0$ berlaku $|x_n-x_m|<\epsilon.$

[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Contoh-contoh Barisan Cauchy.
1. Barisan $\left(\displaystyle \frac{1}{n}\right)$ merupakan barisan Cauchy.

Bukti: Diambil sebarang $\epsilon>0.$ Menurut sifat Archimedes, ada $n_0 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\displaystyle \frac {1}{n_0}<\displaystyle \frac {\epsilon}{2}$.
Jadi, untuk setiap $m,n \in \mathbb{N}$ dengan $m,n \geq n_0$ berlaku
$$|x_n-x_m|=\left|\displaystyle \frac{1}{n}-\displaystyle \frac{1}{m}\right|\leq \left|\displaystyle \frac{1}{n}\right|+\left|\displaystyle \frac{1}{m}\right|\leq \displaystyle \frac {1}{n_0}+\displaystyle \frac {1}{n_0}<\displaystyle \frac {\epsilon}{2}+\displaystyle \frac {\epsilon}{2}=\epsilon.$$

2. Barisan $\left(\displaystyle \frac{1}{n^2}\right)$ merupakan barisan Cauchy.

3. Barisan $\left(\displaystyle \frac{n+1}{n}\right)$ merupakan barisan Cauchy.

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Berikut dijelaskan bagaimana hubungan antara barisan Cauchy dan barisan terbatas.

[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Teorema” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]

Diketahui $(x_n)$ barisan bilangan real. Jika $(x_n)$ barisan Cauchy, maka $(x_n)$ terbatas.

[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Bukti:
Diketahui $(x_n)$ barisan Cauchy. Diambil $\epsilon=1$, maka terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ sehingga untuk setiap $n,m \geq n_0$ berlaku $|x_n-x_m|<1.$
Jadi, untuk setiap $n \geq n_0$ berlaku $|x_n-x_{n_0}|<1$ yang berakibat $|x_n|<|x_{n_0}|+1.$
Diambil $M=\max \{|x_1|,|x_2|,…,|x_{n_0-1}|,1+|x_{n_0}|\}$, maka $|x_n|\leq M$, untuk setiap $n \in \mathbb{N}$.
Dengan kata lain, $(x_n)$ terbatas.

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Hubungan antara barisan Cauchy dan barisan terbatas selanjutnya akan digunakan pada pembuktian hubungan antara barisan konvergen dan barisan Cauchy yang akan dijelaskan pada teorema berikut.

Diberikan barisan bilangan real $(x_n)$. Barisan $(x_n)$ konvergen jika dan hanya jika $(x_n)$ merupakan barisan Cauchy.

Bukti: $(\Rightarrow)$
Diambil sembarang $\epsilon >0$. Karena $(x_n)$ konvergen, misalkan ke $x \in \mathbb{R}$, maka ada $n_0 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga untuk setiap $n \geq n_0$ berlaku $|x_n-x|<\frac {\epsilon}{2}.$ Jadi, untuk setiap $ n,m \geq n_0$ akan berlaku:

\begin{equation*}
\begin{split}
|x_n-x_m|&=|x_n-x+x-x_m|\\
&\leq |x_n-x|+|x-x_m|\\
& < \frac {\epsilon}{2}+\frac {\epsilon}{2}\\
& = \epsilon.
\end{split}
\end{equation*}

Dengan kata lain, $(x_n)$ merupakan barisan Cauchy.

$(\Leftarrow)$

Diketahui $(x_n)$ barisan Cauchy.Diambil $\epsilon >0$, maka terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ sehingga untuk setiap $n,m \geq n_0$ berlaku $$|x_n-x_m|<\frac {\epsilon}{2}.$$
Karena $(x_n)$ barisan Cauchy, maka $(x_n)$ terbatas sehingga $(x_n)$ memuat barisan bagian $(x_{n_k})$ yang konvergen, misalkan ke $x’$.
Oleh karena itu, ada $k \geq n_0$ dengan $k \in \{n_1,n_2,…\}$ sedemikian sehingga $$|x_k-x’|<\frac {\epsilon}{2}.$$

Akibatnya, untuk $m=k$ berlaku

\begin{equation*}
\begin{split}
|x_n-x’|&=|x_n-x_k+x_k-x’|\\
&\leq |x_n-x_k|+|x_k-x’|\\
& < \frac {\epsilon}{2}+\frac {\epsilon}{2}\\
& = \epsilon.
\end{split}
\end{equation*}

Jadi, terbukti barisan $(x_n)$ konvergen ke $x’$.

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Adanya ekuivalensi antara barisan Cauchy dan barisan konvergen di $\mathbb{R}$, seperti yang sudah dijelaskan di Teorema di atas, menjadi sifat utama untuk pembuktian barisan konvergen, tanpa melalui limit barisannya. Karena barisan Cauchy secara definisi menggunakan konsep jarak (metric), selanjutnya konsep jarak tersebut digeneralisasi untuk sebarang ruang metrik. Barisan Cauchy dan barisan konvergen menjadi sifat yang sangat penting dalam penentuan kelengkapan suatu ruang metrik.

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]

Mari Belajar Bersama Kami!

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]

Barisan Cauchy

Barisan Cauchy

Mari Belajar Bersama Kami!

Leave A Comment Cancel reply