[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”60px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]

Deret Konvergen

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”3.22″][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”-2px|||||” custom_padding=”|4px||||”]

Pada artikel barisan konvergen, telah dijelaskan bagaimana definisi suatu barisan konvergen. Sebagaimana kita ketahui, deret merupakan jumlahan  suku-suku suatu barisan. Dalam artikel ini, akan dijelaskan bagaimana kekonvergenan suatu deret. Deret yang konvergen sangat ditentukan oleh bagaimana kekonvergenan barisan jumlah parsialnya.

[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/10/5836996623_83d92ab0df.jpg” _builder_version=”4.4.2″ width=”33%” module_alignment=”center”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”3.25″ background_size=”initial” background_position=”top_left” background_repeat=”repeat”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”3.0.47″ custom_padding=”|||” custom_padding__hover=”|||”][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Deret Konvergen” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]

Deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ dikatakan konvergen jika barisan jumlah parsial $(S_n)$ konvergen.

Dengan kata lain, jika $\lim \limits_{n \to \infty}S_n=\ell$, maka $$\ell=\lim \limits_{n \to \infty}S_n=\lim \limits_{n \to \infty}\sum \limits_{k=1}^{n}x_k=\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k.$$

Deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ dikatakan divergen jika barisan $(S_n)$ divergen.

[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Untuk lebih memperjelas definisi deret konvergen di atas, berikut diberikan salah satu contoh deret konvergen.
Deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \displaystyle \frac {1}{k(k+1)}$ merupakan deret konvergen. Berikut pembuktiannya.

Perhatikan deret deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ dengan $x_k=\displaystyle \frac {1}{k(k+1)}$.
Selanjutnya,
\begin{equation*}
\begin {split}
S_n&=\sum \limits_{k=1}^{n}x_k=\sum \limits_{k=1}^{n} \displaystyle \frac {1}{k(k+1)}\\
&=\displaystyle \frac {1}{1\cdot 2}+\displaystyle \frac {1}{2\cdot 3}+…+\displaystyle \frac {1}{n(n+1)}\\
&=\left(1-\displaystyle \frac {1}{2}\right)+\left(\displaystyle \frac {1}{2}-\displaystyle \frac {1}{3}\right)+…+\left(\displaystyle \frac {1}{n}-\displaystyle \frac {1}{n+1}\right)\\
&=1-\displaystyle \frac {1}{n+1}.
\end{split}
\end{equation*}

Jadi, $\lim \limits_{n \to \infty}S_n=1.$ Dengan kata lain,deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \displaystyle \frac {1}{k(k+1)}$ konvergen.

Contoh deret konvergen lainnya adalah deret geometri. Misalkan diketahui barisan $(r^k)$. Deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty}r^k$ konvergen ke $\displaystyle \frac {1}{1-r}$, jika $|r|<1.$ Berikut pembuktiannya.

Tuliskan $$S_n=1+r+r^2+r^3+…+r^n,$$ maka
\begin{equation*}
\begin {split}
S_n (1-r)&=1+r+r^2+r^3+…+r^n-(r+r^2+r^3+…+r^n+r^{n+1})\\
&=1-r^{n+1}.
\end{split}
\end{equation*}

Karena $|r|<1$, maka $\lim \limits_{n \to \infty}r^{n+1}=0$, sehingga
$$\lim \limits_{n \to \infty}S_n (1-r)=1$$
atau
$$(1-r)\lim \limits_{n \to \infty}S_n =1$$
atau $$\lim \limits_{n \to \infty}S_n =\displaystyle \frac {1}{1-r}.$$
Dengan kata lain, deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty}r^k$ konvergen ke $\displaystyle \frac {1}{1-r}$.

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Salah satu sifat yang cukup penting pada deret konvergen adalah bagaimana kekonvergenan suatu deret mengakibatkan nilai limit dari barisannya menjadi nol. Sifat tersebut akan dijelaskan pada teorema berikut.

[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Teorema” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]

Jika $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ konvergen, maka $\lim \limits_{k \to \infty} x_k=0.$

[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Berikut pembuktian Teorema di atas.
Diperhatikan bahwa, $S_k=x_1+x_2+…+x_{n-1}+x_k$ dan $S_{k-1}=x_1+x_2+…+x_{k-1}$ sehingga $x_k=S_k-S_{k-1}.$
Diketahui $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ konvergen, katakan ke $\ell$. Berarti $\lim \limits_{k \to \infty}S_k=\ell$.
Akibatnya, $\lim \limits_{k \to \infty}S_{k-1}=\ell$.
Jadi,
$\lim \limits_{k \to \infty}x_k=\lim \limits_{k \to \infty}(S_k-S_{k-1})=\ell-\ell=0$.

 

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Suatu deret yang divergen, selain bisa ditunjukkan menggunakan barisan jumlah parsialnya yang divergen, sebagai alternatif pembuktian yang lain bisa menggunakan kontraposisi dari Teorema di atas, yaitu

Jika $\lim \limits_{k \to \infty} x_k \neq 0$, maka $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ divergen.

Sifat tersebut relatif lebih mudah untuk digunakan dalam hal pembuktian deret konvergen, tanpa melalui limit barisan jumlah parsialnya.

Sifat sebaliknya dari Teorema di atas, belum tentu berlaku, yaitu

Jika $\lim \limits_{k \to \infty} x_k = 0$, maka $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ belum tentu konvergen.

Sebagai contoh deret harmonik $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \displaystyle \frac {1}{k}$ divergen, walaupun $\lim \limits_{k \to \infty} \displaystyle \frac {1}{k}=0.$

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]

Mari Belajar Bersama Kami!

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]