Sifat Himpunan Terbuka dan Tertutup
Pada bagian ini akan dipelajari sifat-sifat dari himpunan terbuka dan himpunan tertutup di R. Pembaca diharapkan telah familiar dengan definisi himpunan terbuka dan tertutup di R. Bagai pembaca yang belum mengetahui definisi himpunan terbuka dan tertutup di R disyarankan untuk mempelajarinya di disini. Di bagian ini akan dipelajari karakter dari himpunan terbuka dan tertutup terhadap operasi irisan dan operasi gabungan.
Pertama di tunjukkan sifat himpunan terbuka terhadap operasi gabungan dan irisan
Sifat 1
- Gabungan tak berhingga himpunan-himpunan terbuka di
merupakan himpunan terbuka.
- Irisan berhingga himpunan-himpunan terbuka di
merupakan himpunan terbuka.
Bukti:
- Katakan
terbuka di
untuk setiap
dan
. Diambil sebarang
, maka terdapat
sehingga
. Karena
terbuka di
, terdapat
sehingga
. Karena
, maka
. Terbukti,
terbuka di
.
- Katakan
terbuka di
dan
. Diambil sebarang
, maka
dan
. Karena
dan
terbuka di
, berturut-turut terdapat
dan
sehingga
Diambil
. Diperoleh
Jadi,
. Dengan kata lain,
terbuka di
.\\ Selanjutnya, menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa irisan berhingga himpunan-himpunan terbuka di
merupakan himpunan terbuka.
Sifat berikut merupakan akibat dari Sifat 1. Karena himpunan dikatakan tertutup jika
terbuka, akibatnya menggunakan Hukum De Morgan dapat dibuktikan sifat yang bersesuaian dengan Sifat 1 untuk himpunan tertutup sebagai berikut:
Sifat 2
- Irisan tak berhingga himpunan-himpunan tertutup di
merupakan himpunan tertutup.
- Gabungan berhingga himpunan-himpunan tertutup di
merupakan himpunan tertutup.