Deret Konvergen

Pada artikel barisan konvergen, telah dijelaskan bagaimana definisi suatu barisan konvergen. Sebagaimana kita ketahui, deret merupakan jumlahan suku-suku suatu barisan. Dalam artikel ini, akan dijelaskan bagaimana kekonvergenan suatu deret. Deret yang konvergen sangat ditentukan oleh bagaimana kekonvergenan barisan jumlah parsialnya.

Definisi Deret Konvergen

Deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ dikatakan konvergen jika barisan jumlah parsial $(S_n)$ konvergen.

Dengan kata lain, jika $\lim \limits_{n \to \infty}S_n=\ell$ , maka

$\ell=\lim \limits_{n \to \infty}S_n=\lim \limits_{n \to \infty}\sum \limits_{k=1}^{n}x_k=\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k.$

Deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ dikatakan divergen jika barisan $(S_n)$ divergen.

Untuk lebih memperjelas definisi deret konvergen di atas, berikut diberikan salah satu contoh deret konvergen.
Deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \displaystyle \frac {1}{k(k+1)}$ merupakan deret konvergen. Berikut pembuktiannya.

Perhatikan deret deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ dengan $x_k=\displaystyle \frac {1}{k(k+1)}$ .
Selanjutnya,

$\begin{equation*} \begin {split} S_n&=\sum \limits_{k=1}^{n}x_k=\sum \limits_{k=1}^{n} \displaystyle \frac {1}{k(k+1)}\\ &=\displaystyle \frac {1}{1\cdot 2}+\displaystyle \frac {1}{2\cdot 3}+...+\displaystyle \frac {1}{n(n+1)}\\ &=\left(1-\displaystyle \frac {1}{2}\right)+\left(\displaystyle \frac {1}{2}-\displaystyle \frac {1}{3}\right)+...+\left(\displaystyle \frac {1}{n}-\displaystyle \frac {1}{n+1}\right)\\ &=1-\displaystyle \frac {1}{n+1}. \end{split} \end{equation*}$

Jadi, $\lim \limits_{n \to \infty}S_n=1.$ Dengan kata lain,deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \displaystyle \frac {1}{k(k+1)}$ konvergen.

Contoh deret konvergen lainnya adalah deret geometri. Misalkan diketahui barisan $(r^k)$ . Deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty}r^k$ konvergen ke $\displaystyle \frac {1}{1-r}$ , jika $|r|<1.$ Berikut pembuktiannya.

Tuliskan

$S_n=1+r+r^2+r^3+...+r^n,$

maka

$\begin{equation*} \begin {split} S_n (1-r)&=1+r+r^2+r^3+...+r^n-(r+r^2+r^3+...+r^n+r^{n+1})\\ &=1-r^{n+1}. \end{split} \end{equation*}$

Karena $|r|<1$ , maka $\lim \limits_{n \to \infty}r^{n+1}=0$ , sehingga

$\lim \limits_{n \to \infty}S_n (1-r)=1$

atau

$(1-r)\lim \limits_{n \to \infty}S_n =1$

atau

$\lim \limits_{n \to \infty}S_n =\displaystyle \frac {1}{1-r}.$

Dengan kata lain, deret $\sum \limits_{k=1}^{\infty}r^k$ konvergen ke $\displaystyle \frac {1}{1-r}$ .

Salah satu sifat yang cukup penting pada deret konvergen adalah bagaimana kekonvergenan suatu deret mengakibatkan nilai limit dari barisannya menjadi nol. Sifat tersebut akan dijelaskan pada teorema berikut.

Teorema

Jika $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ konvergen, maka $\lim \limits_{k \to \infty} x_k=0.$

Berikut pembuktian Teorema di atas.
Diperhatikan bahwa, $S_k=x_1+x_2+...+x_{n-1}+x_k$ dan $S_{k-1}=x_1+x_2+...+x_{k-1}$ sehingga $x_k=S_k-S_{k-1}.$
Diketahui $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ konvergen, katakan ke $\ell$ . Berarti $\lim \limits_{k \to \infty}S_k=\ell$ .
Akibatnya, $\lim \limits_{k \to \infty}S_{k-1}=\ell$ .
Jadi,
$\lim \limits_{k \to \infty}x_k=\lim \limits_{k \to \infty}(S_k-S_{k-1})=\ell-\ell=0$ .

Suatu deret yang divergen, selain bisa ditunjukkan menggunakan barisan jumlah parsialnya yang divergen, sebagai alternatif pembuktian yang lain bisa menggunakan kontraposisi dari Teorema di atas, yaitu

Jika $\lim \limits_{k \to \infty} x_k \neq 0$ , maka $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ divergen.

Sifat tersebut relatif lebih mudah untuk digunakan dalam hal pembuktian deret konvergen, tanpa melalui limit barisan jumlah parsialnya.

Sifat sebaliknya dari Teorema di atas, belum tentu berlaku, yaitu

Jika $\lim \limits_{k \to \infty} x_k = 0$ , maka $\sum \limits_{k=1}^{\infty}x_k$ belum tentu konvergen.

Sebagai contoh deret harmonik $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \displaystyle \frac {1}{k}$ divergen, walaupun $\lim \limits_{k \to \infty} \displaystyle \frac {1}{k}=0.$

Mari Belajar Bersama Kami!

Deret Konvergen

Definisi Deret Konvergen

Teorema

Mari Belajar Bersama Kami!

1 Comment

Submit a Comment Cancel reply