Sifat-Sifat Topologis yang Dibangkitkan oleh Metrik

Pada bagian “Barisan” dan “Fungsi” sudah dibahas pengertian dan sifat-sifat dari barisan dan fungsi pada himpunan bilangan real. Pada bagian tersebut konsep jarak yang digunakan adalah jarak yang didefinisikan dengan nilai mutlak. Dengan kata lain, metrik yang digunakan adalah metrik biasa.
Pada bagian ini dibahas konsep barisan dan fungsi dalam sebarang ruang metrik.

Diketahui $(X, d)$ ruang metrik dan $r >0$ . Persekitaran– $\varepsilon$ dari $x \in X$ adalah himpunan

$N_r(x) = \{y: d(x,y) < r\}.$

Selanjutnya, himpunan $U$ disebut persekitaran dari $x \in X$ jika terdapat $N_r(x)$ persekitaran- $r$ dari $x$
sehingga

$x \in N_r(x) \subseteq U.$

Dengan definisi persekitaran pada ruang metrik, diperoleh konsep-konsep sebagai berikut:

Barisan Konvergen

Barisan $(x_n)$ pada ruang metrik $(X,d)$ dikatakan konvergen ke $x \in X$ jika

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}d(x_n,x)=0.$

Berarti untuk setiap $\varepsilon >0$ , terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ sehingga

$d(x_n, x) < \varepsilon, \text{ untuk setiap } n \geq n_0.$

Barisan Cauchy

Barisan $(x_n)$ pada ruang metrik $(X,d)$ disebut Cauchy jika untuk setiap $\varepsilon >0$ , terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ sehingga Barisan $(x_n)$ pada ruang metrik $(X,d)$ disebut Cauchy jika untuk setiap $\varepsilon >0$ , terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ sehingga

$d(x_n,x_m)< \varepsilon, \text{ untuk setiap } n, m \geq n_0.$

Pada himpunan semua bilangan real $\mathbb{R}$ berlaku barisan $(x_n) \subseteq\mathbb{R}$ Cauchy jika dan hanya barisan $(x_n)$ konvergen ke $x \in \mathbb{R}$ . Hal ini tidak berlaku pada sebarang ruang metrik. Oleh karena itu ruang metrik di mana semua barisan Cauchynya konvergen merupakan konsep yang penting. Konsep itu dikenal dengan kelengkapan.

Ruang metrik lengkap

Ruang metrik $(X, d)$ dikatakan lengkap jika untuk setiap barisan Cauchy di $X$ konvergen di $X$ .

Berikut diberikan contoh ruang metrik yang tidak lengkap.

Contoh

Diberikan ruang metrik $(\mathbb{Q}, d)$ dengan $d$ metrik biasa. Barisan $(x_n)$ dengan $x_1 =1$ dan $x_n= \displaystyle\frac{1}{2}(x_n+ \frac{2}{x_n})$ untuk setiap $n \geq 2$ . Jelas barisan $(x_n)$ di $\mathbb{Q}$ konvergen ke $\sqrt{2}$ . Karena $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$ maka $(\mathbb{Q},d)$ tidak lengkap.

Dengan definisi persekitaran pada ruang metrik, kita dapat mendefinisikan himpunan terbuka dan tertutup pada $\mathbb{R}$ seperti pada Dasar-dasar topologi dan fungsi kontinu. Dengan definisi persekitaran pada ruang metrik, kita dapat mendefinisikan himpunan terbuka dan tertutup pada $\mathbb{R}$ seperti pada Dasar-dasar topologi dan fungsi kontinu.

Definisi himpunan terbuka dan tertutup pada ruang metrik $(X,d)$

Diketahui $(X,d)$ ruang metrik. Himpunan $G$ dikatakan terbuka di $X$ jika untuk setiap $x \in X$ terdapat persekitaran $U$ dari $x$ sehingga $U \subseteq G$ .

Himpunan $H$ dikatakan tertutup di $X$ jika $X -H$ terbuka di $X$ .

Pada bagian himpunan terbuka dan tertutup dibuktikan bahwa irisan berhingga himpunan-himpunan terbuka di $\mathbb{R}$ masih terbuka di $\mathbb{R}$ dan gabungan himpunan-himpunan terbuka di $\mathbb{R}$ masih terbuka di $\mathbb{R}$ . Sifat ini dapat diturunkan untuk sebarang ruang metrik $(X,d)$ . Untuk membuktikannya tinggal mengganti persekitaran- $\varepsilon$ pada $\mathbb{R}$ , yaitu $(x-\varepsilon, x+\varepsilon)$ dengan persekitaran- $\varepsilon$ pada $(X,d)$ .

Definisi fungsi kontinu pada ruang metrik $(X,d)$

Diberikan dua ruang metrik $(X,d)$ dan $(Y, \rho)$ . Fungsi $f:X \rightarrow Y$ dikatakan kontinu di $x_0 \in X$ jika untuk setiap $V_\varepsilon(f(x_0))$ persekitaran- $\varepsilon$ dari $f(x_0)$ , terdapat $N_\delta(x_0)$ persekitaran- $\delta$ dari $x_0$ sehingga untuk setiap $y \in X$ berlaku

$x \in N_\delta(x_0) \Rightarrow f(x) \in V_\varepsilon(f(x_0)).$

Menggunakan istilah $\varepsilon-\delta$ definisi fungsi kontinu dapat dinyatakan sebagai berikut: Fungsi $f:X \rightarrow Y$ dikatakan kontinu di $x_0 \in X$ jika untuk setiap $\varepsilon >0$ , terdapat $\delta > 0$ sehingga untuk setiap $y \in X$ berlaku

$d(x, x_0)< \delta \Rightarrow \rho(f(x),f(x_0)) < \varepsilon.$

Mari Belajar Bersama Kami!