[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”60px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]
Nilai Mutlak
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”3.22″][et_pb_row _builder_version=”3.25″ background_size=”initial” background_position=”top_left” background_repeat=”repeat”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”3.0.47″ custom_padding=”|||” custom_padding__hover=”|||”][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Himpunan bilangan real akan mudah diinterpretasikan secara geometris dalam bentuk garis bilangan real. Dalam geometri, dikenal konsep “jarak”. Oleh karena itu, secara geometris, nilai mutlak suatu bilangan real dapat diartikan sebagai jarak antara bilangan real tersebut dengan bilangan 0.
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row column_structure=”2_3,1_3″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”2_3″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
\begin{equation*}|x|=\displaystyle\left\{\begin{array}{ll}x&\mbox{ , jika $x\geq 0$}\\-x &\mbox{ , jika $x<0$}\end{array} \right.\end{equation*}
- $|4|=4$
- $\left|\displaystyle\frac{1}{2}\right|=\displaystyle\frac{1}{2}$
- $|-1|=-(-1)$
- $\left|-\displaystyle\frac{2}{3}\right|=-\left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)=\displaystyle\frac{2}{3}$
[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_3″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/09/mutlak.png” _builder_version=”4.4.2″][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
[latexpage]
Berdasarkan definisi di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ berlaku $|x| \geq 0$. Lebih lanjut, beberapa sifat yang berlaku dalam nilai mutlak akan dituangkan dalam teorema berikut.
Teorema 1
a. $|a|^2=a^2$, untuk setiap $a \in \mathbb{R}$.
b. $|ab|=|a||b|$, untuk setiap $a,b \in \mathbb{R}$.
c. Jika $c \geq 0$, maka $|a| \leq c$ jika dan hanya jika $-c \leq a \leq c$.
d. $-|a| \leq a \leq |a|$, untuk setiap $a \in \mathbb{R}$.
Bukti:
a. Karena $a^2 \geq 0$, maka $a^2=|a^2|=|aa|=|a||a|=|a|^2$.
b. Jika $a=b=0$, maka terbukti.
Jika $a>0$ dan $b>0$, maka $ab>0$ sehingga $|ab|=ab=|a||b|$.
Jika $a>0$ dan $b<0$, maka $ab<0$ sehingga $|ab|=-ab=a(-b)=|a||b|.$
Bukti c dan d untuk latihan.
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
[latexpage]
Salah satu sifat dalam nilai mutlak yang sangat terkenal adalah Teorema Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality Theorem) yang menyatakan bahwa nilai mutlak dari jumlahan dua bilangan real selalu lebih kecil atau sama dengan jumlahan nilai mutlak masing-masing bilangan real tersebut.
Teorema 2 (Teorema Ketaksamaan Segitiga)
Jika $a,b \in \mathbb{R}$, maka $|a+b| \leq |a|+|b|$.
Bukti:
Dari Teorema 1d diperoleh bahwa $-|a| \leq a \leq |a|$ dan $-|b| \leq b \leq |b|.$ Dengan menjumlahkan keduanya akan diperoleh $-(|a|+|b|) \leq a+b \leq |a|+|b|.$ Berdasarkan Teorema 1c, disimpulkan bahwa $|a+b| \leq |a|+|b|$.
Dari Teorema Ketaksamaan Segitiga di atas mengakibatkan berlakunya beberapa sifat berikut.
1. Jika $a,b \in \mathbb{R}$, maka $||a|-|b|| \leq |a-b| \leq |a|+|b|$.
2. Untuk setiap $a_1, …, a_n \in \mathbb{R}$ berlaku $|a_1+…+a_n| \leq |a_1|+…+|a_n|.$
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
[latexpage]
Penggunaan Teorema Ketaksamaan Segitiga dan Akibatnya akan dijelaskan dalam contoh soal berikut.
Contoh: Diketahui $f(x)=\displaystyle \frac {x^2-3x+1}{x-1}$, untuk $3 \leq x \leq 4.$ Tentukan $M>0$ sehingga $|f(x)| \leq M$, untuk setiap $3 \leq x \leq 4.$
Penyelesaian:
Karena $$|x^2-3x+1| \leq |x^2-3x|+1 \leq |x^2|+|3x|+1 \leq 4^2+|3.4|+1=29$$
dan $|x-1| \geq ||x|-1| \geq 3-1=2$, maka
$$\left|\displaystyle \frac {x^2-3x+1}{x-1}\right| \leq \displaystyle \frac {29}{2}.$$
Dengan kata lain, ada $M=\displaystyle \frac {29}{2}>0$ sedemikian sehingga $|f(x)| \leq M$.
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]
Mari Belajar Bersama Kami!
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]