Nilai Mutlak

Himpunan bilangan real akan mudah diinterpretasikan secara geometris dalam bentuk garis bilangan real. Dalam geometri, dikenal konsep “jarak”. Oleh karena itu, secara geometris, nilai mutlak suatu bilangan real dapat diartikan sebagai jarak antara bilangan real tersebut dengan bilangan 0.

Nilai mutlak bilangan real $x$ , dinotasikan dengan $|x|$ , didefinisikan sebagai:

$\begin{equation*}|x|=\displaystyle\left\{\begin{array}{ll}x&\mbox{ , jika $x\geq 0$}\\-x &\mbox{ , jika $x<0$}\end{array} \right.\end{equation*}$

Agar lebih memahami definisi nilai mutlak di atas, berikut diberikan beberapa contoh nilai mutlak bilangan real.

$|4|=4$
$\left|\displaystyle\frac{1}{2}\right|=\displaystyle\frac{1}{2}$
$|-1|=-(-1)$
$\left|-\displaystyle\frac{2}{3}\right|=-\left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)=\displaystyle\frac{2}{3}$

Berdasarkan definisi di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ berlaku $|x| \geq 0$ . Lebih lanjut, beberapa sifat yang berlaku dalam nilai mutlak akan dituangkan dalam teorema berikut.

Teorema 1

a. $|a|^2=a^2$ , untuk setiap $a \in \mathbb{R}$ .

b. $|ab|=|a||b|$ , untuk setiap $a,b \in \mathbb{R}$ .

c. Jika $c \geq 0$ , maka $|a| \leq c$ jika dan hanya jika $-c \leq a \leq c$ .

d. $-|a| \leq a \leq |a|$ , untuk setiap $a \in \mathbb{R}$ .

Bukti:

a. Karena $a^2 \geq 0$ , maka $a^2=|a^2|=|aa|=|a||a|=|a|^2$ .

b. Jika $a=b=0$ , maka terbukti.

Jika $a>0$ dan $b>0$ , maka $ab>0$ sehingga $|ab|=ab=|a||b|$ .

Jika $a>0$ dan $b<0$ , maka $ab<0$ sehingga $|ab|=-ab=a(-b)=|a||b|.$

Bukti c dan d untuk latihan.

Salah satu sifat dalam nilai mutlak yang sangat terkenal adalah Teorema Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality Theorem) yang menyatakan bahwa nilai mutlak dari jumlahan dua bilangan real selalu lebih kecil atau sama dengan jumlahan nilai mutlak masing-masing bilangan real tersebut.

Teorema 2 (Teorema Ketaksamaan Segitiga)

Jika $a,b \in \mathbb{R}$ , maka $|a+b| \leq |a|+|b|$ .

Bukti:

Dari Teorema 1d diperoleh bahwa $-|a| \leq a \leq |a|$ dan $-|b| \leq b \leq |b|.$ Dengan menjumlahkan keduanya akan diperoleh $-(|a|+|b|) \leq a+b \leq |a|+|b|.$ Berdasarkan Teorema 1c, disimpulkan bahwa $|a+b| \leq |a|+|b|$ .

Dari Teorema Ketaksamaan Segitiga di atas mengakibatkan berlakunya beberapa sifat berikut.

1. Jika $a,b \in \mathbb{R}$ , maka $||a|-|b|| \leq |a-b| \leq |a|+|b|$ .

2. Untuk setiap $a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}$ berlaku $|a_1+...+a_n| \leq |a_1|+...+|a_n|.$

Penggunaan Teorema Ketaksamaan Segitiga dan Akibatnya akan dijelaskan dalam contoh soal berikut.

Contoh: Diketahui $f(x)=\displaystyle \frac {x^2-3x+1}{x-1}$ , untuk $3 \leq x \leq 4.$ Tentukan $M>0$ sehingga $|f(x)| \leq M$ , untuk setiap $3 \leq x \leq 4.$
Penyelesaian:
Karena

$|x^2-3x+1| \leq |x^2-3x|+1 \leq |x^2|+|3x|+1 \leq 4^2+|3.4|+1=29$

dan $|x-1| \geq ||x|-1| \geq 3-1=2$ , maka

$\left|\displaystyle \frac {x^2-3x+1}{x-1}\right| \leq \displaystyle \frac {29}{2}.$

Dengan kata lain, ada $M=\displaystyle \frac {29}{2}>0$ sedemikian sehingga $|f(x)| \leq M$ .

Mari Belajar Bersama Kami!

Nilai Mutlak

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply