[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”52px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]
Definisi Kekonvergenan Titik demi Titik
Barisan Fungsi Bilangan Real
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”3.22″][et_pb_row _builder_version=”3.25″ background_size=”initial” background_position=”top_left” background_repeat=”repeat”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”3.0.47″ custom_padding=”|||” custom_padding__hover=”|||”][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Pada submenu Barisan Bilangan Real telah dibahas mengenai definisi kekonvergenan beserta sifat-sifat dari barisan bilangan real. Namun dalam analisis real, tidak hanya barisan bilangan real saja yang dibahas, tetapi juga barisan dari fungsi bilangan real. Seperti halnya barisan bilangan real, dalam barisan fungsi juga dikenalkan mengenai konsep kekonvergenan. Akan tetapi, dalam konsep barisan fungsi dikenalkan dua jenis kekonvergenan, yaitu kekonvergenan titik demi titik (pointwise convergence) dan kekonvergenan seragam (uniform convergence).
[/et_pb_text][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Berikut diberikan definisi mengenai kekonvergenan titik demi titik (pintwise convergence).
[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Konvergen Titik demi Titik” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Diketahui untuk setiap $n\in\mathbb{N}$, fungsi $f_{n}:A\rightarrow\mathbb{R}$, $A_{0}\subseteq A$ dan $f:A_{0}\rightarrow\mathbb{R}$. Barisan $(f_{n})$ dikatakan konvergen ke $f$ pada $A_{0}$, jika untuk setiap $x\in A_{0}$, barisan $(f_{n}(x))$ konvergen ke $f(x)$ di $\mathbb{R}$. Dalam hal ini, fungsi $f$ disebut limit barisan $(f_{n})$ pada $A_{0}$. Apabila fungsi $f$ ada, maka barisan $(f_{n})$ dikatakan konvergen pada $A_{0}$ atau barisan $(f_{n})$ dikatakan \textbf{konvergen titik demi titik \textit{(pointwise convergence)}} pada $A_{0}$.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Untuk menyatakan barisan $(f_{n})$ konvergen ke $f$ pada $A_{0}$, biasa ditulis dengan
\begin{equation*}
f=\lim_{n\rightarrow\infty}{f_{n}}, \text{ pada }A_{0},~~ \text{ atau }~~ f_{n}\rightarrow f \text{ pada }A_{0},
\end{equation*}
Dalam hal rumus fungsi $f_{n}$ dan $f$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ diberikan, maka berisan $(f_{n})$ konvergen pointwise ke $f$ pada $A_{0}$, biasa ditulis
\begin{equation*}
f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}{f_{n}(x)}, \text{ untuk setiap }x\in A_{0},
\end{equation*}
atau
\begin{equation*}
f_{n}(x)\rightarrow f(x) \text{ untuk setiap }x\in A_{0}.
\end{equation*}
[/et_pb_text][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Contoh.
- Diberikan barisan fungsi $(f_{n})$, dengan $f_{n}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sehingga
\begin{equation*}
f_{n}(x)=\frac{1}{n}\sin x.
\end{equation*}
Dengan demikian, diperoleh barisan
\begin{equation*}
\left\{\sin x, \frac{1}{2}\sin x,\frac{1}{3}\sin x, \dots\right\}.
\end{equation*}
Diambil sebarang bilangan $x\in\mathbb{R}$,
\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow}{f_{n}(x)}=\lim_{n\rightarrow}{\frac{1}{n}\sin x}=0.
\end{equation*}
Jadi, barisan $(f_{n})$ dengan $\displaystyle{f_{n}(x)=\frac{1}{n}\sin x}$ konvergen titik demi titik di setiap $x\in\mathbb{R}$. - Diberikan barisan fungsi $(g_{n})$, dengan $g_{n}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sehingga
\begin{equation*}
g_{n}(x)=\frac{nx+1}{n}+\cos\frac{x}{n}.
\end{equation*}
Akibatnya, untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, diperoleh
\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow}{g_{n}(x)}=\lim_{n\rightarrow}{\frac{nx+1}{n}+\cos\frac{x}{n}}=x+1.
\end{equation*}
Jadi, barisan fungsi $(g_{n})$, dengan $\displaystyle{g_{n}(x)=\frac{nx+1}{n}+\cos\frac{x}{n}}$ konvergen titik demi titik di setiap $x\in\mathbb{R}$ ke fungsi $g(x)=x+1$. - Untuk setiap bilangan asli $n$, didefinisikan fungsi $h_{n}:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ sehingga
\begin{equation*}
h_{n}(x)=x^{n}.
\end{equation*}
Dengan demikian, diperoleh barisan
\begin{equation*}
(h_{n}(x))=\left\{x, x^{2},x^{3}, \dots\right\}.
\end{equation*}
Untuk $0\leq x<1$, maka diperoleh
\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow}{h_{n}(x)}=\lim_{n\rightarrow}{x^{n}}=0.
\end{equation*}
Akan tetapi, untuk $x=1$, maka diperoleh
\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow}{h_{n}(x)}=\lim_{n\rightarrow}{1^{n}}=1.
\end{equation*}
Jadi, barisan fungsi $(h_{n})$ konvergen titik demi titik ke fungsi
\begin{equation*}
h(x)=\begin{cases}
0, & 0\leq x<1 \\
1, & x=1
\end{cases}.
\end{equation*}
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]
Mari Belajar Bersama Kami!
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]