Definisi Kekonvergenan Titik demi Titik
Barisan Fungsi Bilangan Real

Pada submenu Barisan Bilangan Real telah dibahas mengenai definisi kekonvergenan beserta sifat-sifat dari barisan bilangan real. Namun dalam analisis real, tidak hanya barisan bilangan real saja yang dibahas, tetapi juga barisan dari fungsi bilangan real. Seperti halnya barisan bilangan real, dalam barisan fungsi juga dikenalkan mengenai konsep kekonvergenan. Akan tetapi, dalam konsep barisan fungsi dikenalkan dua jenis kekonvergenan, yaitu kekonvergenan titik demi titik (pointwise convergence) dan kekonvergenan seragam (uniform convergence).

Berikut diberikan definisi mengenai kekonvergenan titik demi titik (pintwise convergence).

Definisi Konvergen Titik demi Titik

Diketahui untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ , fungsi $f_{n}:A\rightarrow\mathbb{R}$ , $A_{0}\subseteq A$ dan $f:A_{0}\rightarrow\mathbb{R}$ . Barisan $(f_{n})$ dikatakan konvergen ke $f$ pada $A_{0}$ , jika untuk setiap $x\in A_{0}$ , barisan $(f_{n}(x))$ konvergen ke $f(x)$ di $\mathbb{R}$ . Dalam hal ini, fungsi $f$ disebut limit barisan $(f_{n})$ pada $A_{0}$ . Apabila fungsi $f$ ada, maka barisan $(f_{n})$ dikatakan konvergen pada $A_{0}$ atau barisan $(f_{n})$ dikatakan \textbf{konvergen titik demi titik \textit{(pointwise convergence)}} pada $A_{0}$ .

Untuk menyatakan barisan $(f_{n})$ konvergen ke $f$ pada $A_{0}$ , biasa ditulis dengan

$\begin{equation*} f=\lim_{n\rightarrow\infty}{f_{n}}, \text{ pada }A_{0},~~ \text{ atau }~~ f_{n}\rightarrow f \text{ pada }A_{0}, \end{equation*}$

Dalam hal rumus fungsi $f_{n}$ dan $f$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ diberikan, maka berisan $(f_{n})$ konvergen pointwise ke $f$ pada $A_{0}$ , biasa ditulis

$\begin{equation*} f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}{f_{n}(x)}, \text{ untuk setiap }x\in A_{0}, \end{equation*}$

atau

$\begin{equation*} f_{n}(x)\rightarrow f(x) \text{ untuk setiap }x\in A_{0}. \end{equation*}$

Contoh.

Diberikan barisan fungsi $(f_{n})$ , dengan $f_{n}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sehingga

$\begin{equation*} f_{n}(x)=\frac{1}{n}\sin x. \end{equation*}$

Dengan demikian, diperoleh barisan

$\begin{equation*} \left\{\sin x, \frac{1}{2}\sin x,\frac{1}{3}\sin x, \dots\right\}. \end{equation*}$

Diambil sebarang bilangan $x\in\mathbb{R}$ ,

$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow}{f_{n}(x)}=\lim_{n\rightarrow}{\frac{1}{n}\sin x}=0. \end{equation*}$

Jadi, barisan $(f_{n})$ dengan $\displaystyle{f_{n}(x)=\frac{1}{n}\sin x}$ konvergen titik demi titik di setiap $x\in\mathbb{R}$ .
Diberikan barisan fungsi $(g_{n})$ , dengan $g_{n}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sehingga
$\begin{equation*}g_{n}(x)=\frac{nx+1}{n}+\cos\frac{x}{n}. \end{equation*}$

Akibatnya, untuk setiap $x\in\mathbb{R}$ , diperoleh

$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow}{g_{n}(x)}=\lim_{n\rightarrow}{\frac{nx+1}{n}+\cos\frac{x}{n}}=x+1. \end{equation*}$

Jadi, barisan fungsi $(g_{n})$ , dengan $\displaystyle{g_{n}(x)=\frac{nx+1}{n}+\cos\frac{x}{n}}$ konvergen titik demi titik di setiap $x\in\mathbb{R}$ ke fungsi $g(x)=x+1$ .
Untuk setiap bilangan asli $n$ , didefinisikan fungsi $h_{n}:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ sehingga
$\begin{equation*}h_{n}(x)=x^{n}. \end{equation*}$

Dengan demikian, diperoleh barisan

$\begin{equation*}(h_{n}(x))=\left\{x, x^{2},x^{3}, \dots\right\}. \end{equation*}$

Untuk $0\leq x<1$ , maka diperoleh

$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow}{h_{n}(x)}=\lim_{n\rightarrow}{x^{n}}=0. \end{equation*}$

Akan tetapi, untuk $x=1$ , maka diperoleh

$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow}{h_{n}(x)}=\lim_{n\rightarrow}{1^{n}}=1. \end{equation*}$

Jadi, barisan fungsi $(h_{n})$ konvergen titik demi titik ke fungsi

$\begin{equation*}h(x)=\begin{cases}0, & 0\leq x<1 \\1, & x=1\end{cases}.\end{equation*}$

Mari Belajar Bersama Kami!

Definisi Kekonvergenan Titik demi TitikBarisan Fungsi Bilangan Real

Definisi Konvergen Titik demi Titik

Mari Belajar Bersama Kami!