Definisi Derivatif Fungsi

Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan fungsi. Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Turunan fungsi mempunyai aplikasi di semua bidang kuantitatif, salah satunya di bidang ekonomi, fisika, dan lain-lain.

Dengan menggunakan turunan, kita bisa mengekspresikan dengan mudah bagaimana perubahan satu variabel (misalnya, $x$ ) menentukan perubahan variabel lain (misalnya, $y$ ). Meskipun kita dapat menyatakan hubungan antara $x$ dan $y$ sebagai fungsi $y=f(x)$ , tapi seringkali tidak mudah untuk menganalisa perubahannya secara implisit. Oleh karena itu, akan jauh lebih mudah untuk menghubungkan secara eksplisit bagaimana perubahan $x$ , dilambangkan $\Delta x$ , menyebabkan perubahan pada $y$ , $\Delta y$ .

Misalkan terdapat 2 variabel yang saling berhubungan yang dinyatakan sebagai $y=f(x)$ .

Bila $x$ berubah dari $x_{0}$ ke $x_{1}$ , nilai perubahannya dinyatakan sebagai $\Delta x=x_{1}-x_{0}$ .
Dengan cara yang sama, bila $x_{0}$ berubah ke $x_{0}+\Delta x$ , maka nilai fungsi $f(x_{0})$ juga berubah menjadi $f(x_{0}+\Delta x)$ .

Dapat dinyatakan tingkat perubahan rata-rata (average rate of change) $y$ dari $x=x_{0}$ ke $x=x_{0}+\Delta x$ adalah

$\begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}, \end{equation*}$

dengan $\Delta x\neq 0$ . Formula tersebut juga sering disebut dengan hasil bagi perbedaan (difference quotient). Lebih lanjut, dapat kita interpretasikan juga sebagai kemiringan garis potong (slope of secant line).

Jika nilai $\Delta x$ sangat kecil (mendekati nol), maka menggunakan konsep limit fungsi diperoleh tingkat perubahan sesaat (instantaneous rate of change) fungsi $y=f(x)$ di titik $x=x_{0}$ adalah

$\begin{equation*} \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}} \end{equation*}$

Formula tersebut dapat kita interpretasikan sebagai kemiringan garis singgung (slope of tangent line) fungsi $f$ di titik $A$ .

Berdasarkan intuisi di atas, diberikan definisi derivatif fungsi berikut ini:

Definisi Derivatif Fungsi

Diberikan $Asubseteq mathbb{R}$ , $x_{0}$ titik kluster himpunan $A$ , dan $f:Arightarrowmathbb{R}$ . Derivatif atau turunan fungsi $f$ di titik $x_{0}$ , dinotasikan dengan $f'(x_{0})$ , didefinisikan dengan

$\begin{equation*} <span style="font-size: 14px;text-align: left">f'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}, \end{equation*}$

jika nilai limitnya ada.

Mari Belajar Bersama Kami!

Definisi Derivatif Fungsi

Definisi Derivatif Fungsi

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply