Definisi Fungsi Kontinu

Kontinuitas fungsi adalah salah satu konsep inti dari analisis real, khususnya topologi. Secara geometri, fungsi kontinu merupakan fungsi yang tidak terputus atau terpotong. Lebih tepatnya secara intuitif, perubahan yang cukup kecil untuk nilai prapeta dari fungsi kontinu menghasilkan perubahan kecil dalam nilai petanya. Jika tidak kontinu, suatu fungsi dikatakan terputus-putus. Sampai abad ke-19, ahli matematika sangat mengandalkan gagasan intuitif tentang kontinuitas ini, hingga akhirnya ditemukan definisi formal menggunakan epsilon-delta.

Definisi Fungsi Kontinu

Diberikan $A\subseteq \mathbb{R}$ , $c\in A$ , dan $f:A\Rightarrow\mathbb{R}$ . Fungsi $f$ dikatakan kontinu di $c$ , jika untuk setiap bilangan $\epsilon>0$ , terdapat bilangan $\delta>0$ , sehingga untuk setiap $x\in A$ dengan $|x-c|<\delta$ , berlaku

$\begin{equation*} |f(x)-f(c)|<\epsilon.\end{equation*}$

Selanjutnya, $f$ dikatakan kontinu pada $A\subseteq\mathbb{R}$ , jika $f$ kontinu di setiap $c\in A$ .

Dengan memanfaatkan konsep mengenai barisan bilangan real, dapat ditunjukkan keekuivalenan definisi fungsi kontinu dengan menggunakan definisi epsilon-delta dan dengan menggunakan definisi barisan bilangan real.

Teorema

Diberikan $A\subseteq \mathbb{R}$ , $c\in A$ , dan $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ . Fungsi $f$ dikatakan kontinu di $c$ jika dan hanya jika untuk setiap barisan $(x_{n})\subseteq A$ yang konvergen ke $c$ berakibat barisan $(f(x_{n}))$ konvergen ke $f(c)$ .

Bukti.

$\\Rightarrow$

Diambil sebarang barisan $\{x_{n}\}\subseteq A$ yang konvergen ke $c$ . Akan ditunjukkan barisan $(f(x_{n}))$ konvergen ke $f(c)$ . Diambil sebarang bilangan $\epsilon>0$ . Karena $f$ kontinu di $c$ maka terdapat $\delta>0$ dengan sifat untuk setiap $x\in A$ dengan $|x-c|<\delta$ berlaku $|f(x)-f(c)|<\epsilon$ . Karena $\{x_{n}\}$ konvergen ke $x$ berarti terdapat $n_{0}\in\mathbb{N}$ dengan sifat, untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ , dengan $n\geq n_{0}$ berlaku $|x_{n}-c|<\delta$ . Akibatnya, untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ , dengan $n\geq n_{0}$ berlaku

$\begin{equation*} |f(x_{n})-f(c)|<\epsilon.\end{equation*}$

Dengan kata lain, terbukti $(f(x_{n}))$ konvergen ke $f(c)$ .

$\\Leftarrow$

Andaikan $f$ tidak kontinu di $c\in A$ . Berarti terdapat $\epsilon_{0}>0$ dengan sifat untuk setiap bilangan $\delta>0$ , terdapat $y\in A$ dengan $|y-c|<\delta$ tetapi

$\begin{equation*} |f(y)-f(c))|\geq \epsilon_{0}. \end{equation*}$

Akibatnya, untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ terdapat $y_{n}\in X$ , dengan $|y_{n},c|<\frac{1}{n}$ tetapi

$\begin{equation*} |f(y_{n})-f(c)|\geq \epsilon_{0}. \end{equation*}$

Jadi, terdapat barisan $\{y_{n}\}\subseteq A$ yang konvergen ke $c$ , tetapi

$\begin{equation*} |f(y_{n})-f(c)|\geq \epsilon_{0}, \end{equation*}$

untuk suatu $\epsilon_{0}>0$ . Terjadi kontradiksi dengan yang diketahui. Jadi, terbukti $f$ kontinu di $c\in A$ .

Mari Belajar Bersama Kami!

Definisi Fungsi Kontinu

Definisi Fungsi Kontinu

Teorema

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply