[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” custom_padding=”||61px|||” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”60px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]

Definisi Limit Fungsi

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”||-51px|||” custom_padding=”3px||45px|||”][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”||3px|||”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”|||-3px||” custom_padding=”|||0px||”]

Hal yang dipelajari pada ilmu matematika analisis, tidak dapat lepas dari penggunaan berbagai konsep limit. Begitu juga dengan fungsi. Untuk itu pemahaman yang mendalam mengenai definisi, sifat-sifat, contoh-contoh perhitungan, serta penggunaannya dalam matematika analisis sangat diperlukan.

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row column_structure=”1_4,3_4″ _builder_version=”4.4.2″ min_height=”181px” custom_margin=”-2px|auto|-3px|200px||” custom_padding=”21px||2px|||”][et_pb_column type=”1_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ width=”99.7%” min_height=”114px” custom_margin=”|-15px|0px|||” custom_padding=”|0px|1px|||”]

Gagasan awal mengenai konsep limit muncul di tahun 1680an pada saat Isaac Newton dan Gottfried Leibniz mengalami kesulitan pada saat melakukan perhitungan kalkulus. Mereka menyadari perlunya terminologi fungsi dan konsep yang menyatakan kuantitasnya dekat satu sama lain. Akan tetapi baru dua abad kemudian, definisi yang tepat mengenai limit diberikan oleh Karl Weierstrass. Definisi inilah yang hingga saat ini kita gunakan.

[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”3_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/07/Mathematicians.gif” align=”center” force_fullwidth=”on” _builder_version=”4.4.2″ module_alignment=”center” custom_margin=”|||15px||” custom_padding=”|70px|3px|70px||”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″ width=”80.9%” custom_margin=”|auto||200px||”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Ide intuitif yang muncul mengenai definisi $L$ merupakan limit fungsi $f$ di titik $c$ adalah ketika nilai fungsi $f(x)$ dekat ke $L$ ketika $x$ dekat ke $c$ tetapi tidak sama dengan $c$. Diperhatikan bahwa fungsi $f$ harus terdefinisi untuk titik-titik yang cukup dekat di sekitar $c$, tetapi tidak perlu terdefinisi di $c$. Pertanyaan yang muncul adalah seberapa dekat titik-titik tersebut harus terdefinisi?

Pertanyaan ini dijawab oleh Karl Weierstrass dengan menggunakan definisi $\epsilon-\delta$ dibawah ini:

[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Limit Fungsi” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]

Diberikan $A\subseteq \mathbb{R}$, $c$ titik kluster himpunan $A$, dan $f:A\rightarrow\mathbb{R}$. Bilangan real $L$ disebut sebagai limit fungsi $f$ di $c$, jika untuk setiap bilangan $\epsilon>0$, terdapat bilangan $\delta>0$, sehingga untuk setiap $x\in A$ dengan $0<|x-c|<\delta$, berlaku
\begin{equation*}
|f(x)-L|<\epsilon.
\end{equation*}

[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Definisi ini memberikan pengertian secara matematis tentang konsep “dekat”. Jika $L$ adalah limit dari fungsi $f$ di titik $c$, maka kita juga dapat mengatakan bahwa $f$ konvergen ke $L$ di $c$. Selain itu, kita juga dapat mengatakan bahwa nilai $f(x)$ akan mendekati $L$, jika $x$ mendekati $c$.

[/et_pb_text][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”||-10px|||”]

Untuk lebih jelasnya silakan lihat contoh di bawah ini.

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″ width=”78.3%” custom_margin=”|80px||198px||” custom_padding=”0px|||||”][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Contoh.

Akan dibuktikan bahwa $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 5} \sqrt{x-1}=2$.
Penyelesaian. Diperhatikan bahwa
\begin{equation*}
|\sqrt{x-1}-2|=\left|(\sqrt{x-1}-2)\displaystyle \frac{\sqrt{x-1}+2}{\sqrt{x-1}+2}\right|=\left|\displaystyle \frac{x-5}{\sqrt{x-1}+2}\right|.
\end{equation*}
Ditinjau untuk $x-1>0$ dengan sifat $|x-5|<3$. Manurut ketidaksamaan segitiga diperoleh
\begin{equation*}
x-1=|x-1|\geq|-4|-|x-5|>4-3=1.
\end{equation*}
Hal ini berakibat $\sqrt{x-1}>1$.

[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/10/definisilimit-new.png” _builder_version=”4.4.2″][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”|auto||196px||” custom_padding=”1px|||||”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”|||-2px||”]

Selanjutnya diperhatikan bahwa
\begin{equation*}
|\sqrt{x-1}-2|=\displaystyle \frac{|x-5|}{|\sqrt{x-1}+2|}<\frac{|x-5|}{1+2}=\frac{|x-5|}{3},
\end{equation*}
untuk $x-1>0$. Diberikan bilangan $\epsilon>0$ sebarang. Apabila diambil $\delta=\min\{3,3\epsilon\}$, maka untuk setiap $x>0$ dengan $0<|x-5|<\delta$ berlaku
\begin{equation*}
|\sqrt{x-1}-2|=\displaystyle \frac{|x-5|}{|\sqrt{x-1}+2|}<\frac{|x-5|}{3}<\epsilon.
\end{equation*}
Jadi untuk setiap $\epsilon>0$ dapat ditemukan $\delta>0$ sehingga untuk setiap $x>0$ dengan $0<|x-5|<\delta$ berlaku
\begin{equation*}
|\sqrt{x-1}-2|<\epsilon.
\end{equation*}
Dengan demikian diperoleh bahwa $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 5} \sqrt{x-1}=2$.

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]

Mari Belajar Bersama Kami!

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]