Definisi Limit Fungsi

Hal yang dipelajari pada ilmu matematika analisis, tidak dapat lepas dari penggunaan berbagai konsep limit. Begitu juga dengan fungsi. Untuk itu pemahaman yang mendalam mengenai definisi, sifat-sifat, contoh-contoh perhitungan, serta penggunaannya dalam matematika analisis sangat diperlukan.

Gagasan awal mengenai konsep limit muncul di tahun 1680an pada saat Isaac Newton dan Gottfried Leibniz mengalami kesulitan pada saat melakukan perhitungan kalkulus. Mereka menyadari perlunya terminologi fungsi dan konsep yang menyatakan kuantitasnya dekat satu sama lain. Akan tetapi baru dua abad kemudian, definisi yang tepat mengenai limit diberikan oleh Karl Weierstrass. Definisi inilah yang hingga saat ini kita gunakan.

Ide intuitif yang muncul mengenai definisi $L$ merupakan limit fungsi $f$ di titik $c$ adalah ketika nilai fungsi $f(x)$ dekat ke $L$ ketika $x$ dekat ke $c$ tetapi tidak sama dengan $c$ . Diperhatikan bahwa fungsi $f$ harus terdefinisi untuk titik-titik yang cukup dekat di sekitar $c$ , tetapi tidak perlu terdefinisi di $c$ . Pertanyaan yang muncul adalah seberapa dekat titik-titik tersebut harus terdefinisi?

Pertanyaan ini dijawab oleh Karl Weierstrass dengan menggunakan definisi $\epsilon-\delta$ dibawah ini:

Definisi Limit Fungsi

Diberikan $A\subseteq \mathbb{R}$ , $c$ titik kluster himpunan $A$ , dan $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ . Bilangan real $L$ disebut sebagai limit fungsi $f$ di $c$ , jika untuk setiap bilangan $\epsilon>0$ , terdapat bilangan $\delta>0$ , sehingga untuk setiap $x\in A$ dengan $0<|x-c|<\delta$ , berlaku

$\begin{equation*} |f(x)-L|<\epsilon. \end{equation*}$

Definisi ini memberikan pengertian secara matematis tentang konsep “dekat”. Jika $L$ adalah limit dari fungsi $f$ di titik $c$ , maka kita juga dapat mengatakan bahwa $f$ konvergen ke $L$ di $c$ . Selain itu, kita juga dapat mengatakan bahwa nilai $f(x)$ akan mendekati $L$ , jika $x$ mendekati $c$ .

Untuk lebih jelasnya silakan lihat contoh di bawah ini.

Contoh.

Akan dibuktikan bahwa $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 5} \sqrt{x-1}=2$ .
Penyelesaian. Diperhatikan bahwa

$\begin{equation*} |\sqrt{x-1}-2|=\left|(\sqrt{x-1}-2)\displaystyle \frac{\sqrt{x-1}+2}{\sqrt{x-1}+2}\right|=\left|\displaystyle \frac{x-5}{\sqrt{x-1}+2}\right|. \end{equation*}$

Ditinjau untuk $x-1>0$ dengan sifat $|x-5|<3$ . Manurut ketidaksamaan segitiga diperoleh

$\begin{equation*} x-1=|x-1|\geq|-4|-|x-5|>4-3=1. \end{equation*}$

Hal ini berakibat $\sqrt{x-1}>1$ .

Selanjutnya diperhatikan bahwa

$\begin{equation*} |\sqrt{x-1}-2|=\displaystyle \frac{|x-5|}{|\sqrt{x-1}+2|}<\frac{|x-5|}{1+2}=\frac{|x-5|}{3}, \end{equation*}$

untuk $x-1>0$ . Diberikan bilangan $\epsilon>0$ sebarang. Apabila diambil $\delta=\min\{3,3\epsilon\}$ , maka untuk setiap $x>0$ dengan $0<|x-5|<\delta$ berlaku

$\begin{equation*} |\sqrt{x-1}-2|=\displaystyle \frac{|x-5|}{|\sqrt{x-1}+2|}<\frac{|x-5|}{3}<\epsilon. \end{equation*}$

Jadi untuk setiap $\epsilon>0$ dapat ditemukan $\delta>0$ sehingga untuk setiap $x>0$ dengan $0<|x-5|<\delta$ berlaku

$\begin{equation*} |\sqrt{x-1}-2|<\epsilon. \end{equation*}$

Dengan demikian diperoleh bahwa $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 5} \sqrt{x-1}=2$ .

Mari Belajar Bersama Kami!

Definisi Limit Fungsi

Definisi Limit Fungsi

Contoh.

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply