[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”50px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]
Kriteria Divergensi Limit Fungsi
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ admin_label=”Blog” _builder_version=”4.2.2″][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Pada laman Definisi Limit Fungsi telah dijelaskan mengenai definisi limit fungsi dengan menggunakan $epsilon$ dan $delta$. Lebih lanjut, pada laman Ekuivalensi Definisi Limit Fungsi juga telah dibahas mengenai ekuivalensi definisi limit fungsi dengan menggunakan persekitaran maupun dengan menggunakan barisan bilangan real. Kontraposisi dari teorema ini mengakibatkan beberapa kriteria divergensi limit fungsi berikut:
[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Kriteria Divergensi Limit Fungsi” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Diberikan $A\subseteq \mathbb{R}$, $c$ titik kluster himpunan $A$, dan $f:A\rightarrow\mathbb{R}$. Tiga pernyataan berikut ekuivalen:
- Jika $L\in\mathbb{R}$, maka nilai limit $f$ untuk $x$ dekat ke $c$ tidak sama dengan $L$ jika dan hanya jika terdapat barisan $(x_{n})\subseteq A$ dengan $x_{n}\neq c$, untuk setiap bilangan asli $n$ sehingga barisan $(x_{n})$ konvergen ke $c$, tetapi barisan $(f(x_{n}))$ tidak konvergen ke $L$.
- Fungsi $f$ tidak punya limit untuk $x$ dekat ke $c$ jika dan hanya jika terdapat barisan $(x_{n})\subseteq A$, dengan barisan $(x_{n})$ konvergen ke $c$, tetapi barisan $(f(x_{n}))$ tidak konvergen.
- Fungsi $f$ tidak punya limit untuk $x$ dekat ke $c$ jika dan hanya jika terdapat barisan $(x_{n})$ dan $(y_{n})$ di $A$ dengan $x_{n},y_{n}\neq c$, untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ dengan $(x_{n})$ dan $(y_{n})$ konvergen ke $c$, tetapi barisan $(f(x_{n}))$ konvergen ke $L$ dan barisan $(f(y_{n}))$ konvergen ke $K$ dengan $L\neq K$.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Contoh Penggunaan:
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row column_structure=”3_5,2_5″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”3_5″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Akan ditunjukkan bahwa
\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}}~\text{tidak ada.}
\end{equation*}
Diperhatikan bahwa $f(x)=\frac{1}{x}$. Dipilih barisan $(x_{n})$, dengan $x_{n}=\frac{1}{n}$, untuk setiap bilangan asli $n$. Diperhatikan bahwa barisan $\left(\frac{1}{n}\right)$ konvergen ke $0$, tetapi barisan $(f(x_{n}))=(n)$ tidak konvergen. Jadi berdasarkan kriteria divergensi limit fungsi, nilai limit $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}}$ tidak ada.
[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”2_5″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/10/1x.png” _builder_version=”4.4.2″][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/10/sgn-x.png” _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”-5px|||||”][/et_pb_image][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Akan ditunjukkan bahwa $\lim_{x\rightarrow 0}{\text{sgn}(x)}$ dengan
\begin{equation*}
\text{sgn}(x)=\begin{cases}
1, & x\geq 0 \\
-1, & x<0
\end{equation*}
tidak ada.
Diperhatikan bahwa $f(x)=\text{sgn}(x)$. Dipilih barisan $(x_{n})$ dan $(y_{n})$, dengan $x_{n}=\frac{1}{n}$ dan$y_{n}=-\frac{1}{n}$, untuk setiap bilangan asli $n$. Diperhatikan bahwa barisan $\left(\frac{1}{n}\right)$ dan$\left(-\frac{1}{n}\right)$ konvergen ke $0$, tetapi barisan $(f(x_{n}))=(1)$ konvergen ke $1$ dan barisan$(f(y_{n}))=(-1)$ konvergen ke $-1$. Jadi berdasarkan kriteria divergensi limit fungsi, nilai limit $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}}$ tidak ada.
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Akan ditunjukkan bahwa
\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}{\sin\frac{1}{x^{2}}}~\text{tidak ada.}
\end{equation*}
Diperhatikan bahwa $f(x)=\sin\frac{1}{x^{2}}$. Dipilih barisan $(x_{n})$ dan $(y_{n})$, dengan $x_{n}=\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ dan$y_{n}=\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi n}}$, untuk setiap bilangan asli $n$. Diperhatikan bahwa barisan $\left(\frac{1}{\pi n}\right)$ dan$\left(\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}\right)$ konvergen ke $0$, tetapi barisan $(f(x_{n}))=(\sin \pi n)$ konvergen ke $0$ dan barisan$(f(y_{n}))=\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\right)$ konvergen ke $1$. Jadi berdasarkan kriteria divergensi limit fungsi, nilai limit $\lim_{x\rightarrow 0}{\sin\frac{1}{x^{2}}}$ tidak ada.
[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/10/sin-1×2-1.png” _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”44px|||||”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]
Mari Belajar Bersama Kami!
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]