Kriteria Divergensi Limit Fungsi

Pada laman Definisi Limit Fungsi telah dijelaskan mengenai definisi limit fungsi dengan menggunakan $epsilon$ dan $delta$ . Lebih lanjut, pada laman Ekuivalensi Definisi Limit Fungsi juga telah dibahas mengenai ekuivalensi definisi limit fungsi dengan menggunakan persekitaran maupun dengan menggunakan barisan bilangan real. Kontraposisi dari teorema ini mengakibatkan beberapa kriteria divergensi limit fungsi berikut:

Kriteria Divergensi Limit Fungsi

Diberikan $A\subseteq \mathbb{R}$ , $c$ titik kluster himpunan $A$ , dan $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ . Tiga pernyataan berikut ekuivalen:

Jika $L\in\mathbb{R}$ , maka nilai limit $f$ untuk $x$ dekat ke $c$ tidak sama dengan $L$ jika dan hanya jika terdapat barisan $(x_{n})\subseteq A$ dengan $x_{n}\neq c$ , untuk setiap bilangan asli $n$ sehingga barisan $(x_{n})$ konvergen ke $c$ , tetapi barisan $(f(x_{n}))$ tidak konvergen ke $L$ .
Fungsi $f$ tidak punya limit untuk $x$ dekat ke $c$ jika dan hanya jika terdapat barisan $(x_{n})\subseteq A$ , dengan barisan $(x_{n})$ konvergen ke $c$ , tetapi barisan $(f(x_{n}))$ tidak konvergen.
Fungsi $f$ tidak punya limit untuk $x$ dekat ke $c$ jika dan hanya jika terdapat barisan $(x_{n})$ dan $(y_{n})$ di $A$ dengan $x_{n},y_{n}\neq c$ , untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ dengan $(x_{n})$ dan $(y_{n})$ konvergen ke $c$ , tetapi barisan $(f(x_{n}))$ konvergen ke $L$ dan barisan $(f(y_{n}))$ konvergen ke $K$ dengan $L\neq K$ .

Contoh Penggunaan:

Akan ditunjukkan bahwa

$\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}}~\text{tidak ada.} \end{equation*}$

Diperhatikan bahwa $f(x)=\frac{1}{x}$ . Dipilih barisan $(x_{n})$ , dengan $x_{n}=\frac{1}{n}$ , untuk setiap bilangan asli $n$ . Diperhatikan bahwa barisan $\left(\frac{1}{n}\right)$ konvergen ke $0$ , tetapi barisan $(f(x_{n}))=(n)$ tidak konvergen. Jadi berdasarkan kriteria divergensi limit fungsi, nilai limit $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}}$ tidak ada.

Akan ditunjukkan bahwa $\lim_{x\rightarrow 0}{\text{sgn}(x)}$ dengan

$\begin{equation*} \text{sgn}(x)=\begin{cases} 1, & x\geq 0 \\ -1, & x<0 \end{equation*}$

tidak ada.

Diperhatikan bahwa $f(x)=\text{sgn}(x)$ . Dipilih barisan $(x_{n})$ dan $(y_{n})$ , dengan $x_{n}=\frac{1}{n}$ dan $y_{n}=-\frac{1}{n}$ , untuk setiap bilangan asli $n$ . Diperhatikan bahwa barisan $\left(\frac{1}{n}\right)$ dan $\left(-\frac{1}{n}\right)$ konvergen ke $0$ , tetapi barisan $(f(x_{n}))=(1)$ konvergen ke $1$ dan barisan $(f(y_{n}))=(-1)$ konvergen ke $-1$ . Jadi berdasarkan kriteria divergensi limit fungsi, nilai limit $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}}$ tidak ada.

Akan ditunjukkan bahwa

$\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}{\sin\frac{1}{x^{2}}}~\text{tidak ada.} \end{equation*}$

Diperhatikan bahwa $f(x)=\sin\frac{1}{x^{2}}$ . Dipilih barisan $(x_{n})$ dan $(y_{n})$ , dengan $x_{n}=\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ dan $y_{n}=\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi n}}$ , untuk setiap bilangan asli $n$ . Diperhatikan bahwa barisan $\left(\frac{1}{\pi n}\right)$ dan $\left(\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}\right)$ konvergen ke $0$ , tetapi barisan $(f(x_{n}))=(\sin \pi n)$ konvergen ke $0$ dan barisan $(f(y_{n}))=\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\right)$ konvergen ke $1$ . Jadi berdasarkan kriteria divergensi limit fungsi, nilai limit $\lim_{x\rightarrow 0}{\sin\frac{1}{x^{2}}}$ tidak ada.

Mari Belajar Bersama Kami!

Kriteria Divergensi Limit Fungsi

Kriteria Divergensi Limit Fungsi

Contoh Penggunaan:

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply