[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”60px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]
Teorema Ketunggalan Limit Fungsi
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”3.22″][et_pb_row _builder_version=”3.25″ background_size=”initial” background_position=”top_left” background_repeat=”repeat”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”3.0.47″ custom_padding=”|||” custom_padding__hover=”|||”][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”||29px|||”]
Pada artikel Definisi Limit Fungsi telah dijelaskan mengenai asal usul dan definisi limit fungsi dengan menggunakan definisi $\epsilon-\delta$. Definisi ini menjadi sangat penting karena banyak digunakan dalam teori fungsional dalam analisis real. Untuk itu analisis mengenai sifat-sifat limit fungsi perlu dipelajari dengan seksama. Salah satu teorema penting mengenai limit adalah teorema ketunggalan limit. Dimana, jika limit fungsi ada, maka nilainya pasti tunggal.
[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Teorema Ketunggalan Limit Fungsi” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Jika $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)$ ada maka nilainya tunggal.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Bukti. Misalkan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ dan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=K$. Akan ditunjukkan $K=L$.
Diberikan $\epsilon>0$ sebarang, maka terdapat $\delta_{1},\delta_{2}>0$ sehingga
- $|f(x)-L|<\displaystyle \frac{\epsilon}{2}$, untuk setiap $x\in D_{f}$ dengan $0<x<\delta_{1}$.
- $|f(x)-K|<\displaystyle \frac{\epsilon}{2}$, untuk setiap $x\in D_{f}$ dengan $0<x<\delta_{2}$.
Apabila diambil $\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$ maka untuk setiap $x\in D_{f}$ dengan $0<x<\delta$ berlaku
\begin{equation*}
|L-K|\leq |L-f(x)|+|f(x)-K|<\epsilon.
\end{equation*}
Hal ini berarti $L=K$.
$\blacksquare$
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/10/limittunggal.png” _builder_version=”4.4.2″][/et_pb_image][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Selanjutnya diberikan contoh penggunaan teorema di atas.
Contoh
Tunjukkan bahwa $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}$ tidak ada.
Penyelesaian: Untuk $x>0$
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x}=1$$
Sementara untuk $x<0$,
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-x}{x}=-1$$
Karena nilai limit tidak tunggal maka $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}$ tidak ada.
$\blacksquare$
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]
Mari Belajar Bersama Kami!
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]