Teorema Ketunggalan Limit Fungsi

Pada artikel Definisi Limit Fungsi telah dijelaskan mengenai asal usul dan definisi limit fungsi dengan menggunakan definisi $\epsilon-\delta$ . Definisi ini menjadi sangat penting karena banyak digunakan dalam teori fungsional dalam analisis real. Untuk itu analisis mengenai sifat-sifat limit fungsi perlu dipelajari dengan seksama. Salah satu teorema penting mengenai limit adalah teorema ketunggalan limit. Dimana, jika limit fungsi ada, maka nilainya pasti tunggal.

Teorema Ketunggalan Limit Fungsi

Jika $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)$ ada maka nilainya tunggal.

Bukti. Misalkan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ dan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=K$ . Akan ditunjukkan $K=L$ .
Diberikan $\epsilon>0$ sebarang, maka terdapat $\delta_{1},\delta_{2}>0$ sehingga

$|f(x)-L|<\displaystyle \frac{\epsilon}{2}$ , untuk setiap $x\in D_{f}$ dengan $0<x<\delta_{1}$ .
$|f(x)-K|<\displaystyle \frac{\epsilon}{2}$ , untuk setiap $x\in D_{f}$ dengan $0<x<\delta_{2}$ .

Apabila diambil $\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$ maka untuk setiap $x\in D_{f}$ dengan $0<x<\delta$ berlaku

$\begin{equation*} |L-K|\leq |L-f(x)|+|f(x)-K|<\epsilon. \end{equation*}$

Hal ini berarti $L=K$ .

$\blacksquare$

Selanjutnya diberikan contoh penggunaan teorema di atas.

Contoh

Tunjukkan bahwa $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}$ tidak ada.
Penyelesaian: Untuk $x>0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x}=1$

Sementara untuk $x<0$ ,

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-x}{x}=-1$

Karena nilai limit tidak tunggal maka $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}$ tidak ada.

$\blacksquare$

Mari Belajar Bersama Kami!

Teorema Ketunggalan Limit Fungsi

Teorema Ketunggalan Limit Fungsi

Contoh

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply