[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”50px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]
Sifat Lengkap Himpunan Bilangan Real
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”3.22″][et_pb_row _builder_version=”3.25″ background_size=”initial” background_position=”top_left” background_repeat=”repeat”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”3.0.47″ custom_padding=”|||” custom_padding__hover=”|||”][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Salah satu sifat dalam sistem bilangan real yang memegang peranan sangat penting yaitu sifat kelengkapan (completeness). Sifat ini menjamin bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari himpunan bilangan real yang terbatas ke atas dijamin nilai supremumnya pasti ada. Sebelum membahas lebih jauh tentang sifat kelengkapan tersebut, terlebih dahulu akan dijelaskan tentang supremum dan infimum dari suatu himpunan.
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row column_structure=”2_3,1_3″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”2_3″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Himpunan $S$ dikatakan terbatas ke bawah jika $S$ mempunyai batas bawah. Dengan kata lain, ada $w \in \mathbb{R} \ni x \geq w,\forall x \in S$.
Jika $S$ terbatas ke atas, maka $S$ mempunyai tak hingga banyak batas atas. Batas atas $S$ yang paling kecil disebut supremum $S$, ditulis $\sup S$.
Jika $S$ terbatas ke bawah, maka $S$ mempunyai tak hingga banyak batas bawah. Batas bawah $S$ yang paling besar disebut infimum $S$, ditulis $\inf S$.
Himpunan $S$ dikatakan terbatas jika $S$ terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.
[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_3″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”data:image/svg+xml;base64,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” _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”39px|||||”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Supremum ” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Diketahui $S\subset\mathbb{R}$ dan $S\neq\emptyset$.
Bilangan real $M$ disebut supremum $S$ jika:
- $M$ batas atas $S$,
- $M\leq u$, untuk setiap $u$ batas atas $S$.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||4px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Infimum” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Diketahui $S\subset\mathbb{R}$ dan $S\neq\emptyset$.
Bilangan real $m$ disebut infimum $S$ jika:
- $m$ batas bawah $S$,
- $m\geq w$, untuk setiap $w$ batas bawah $S$.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ locked=”off”]
[latexpage]
Selanjutnya, diberikan beberapa contoh bagaimana menentukan supremum dan infimum dari suatu himpunan.
- Supremum dari himpunan $A=[1,3)\cup(5,8)$ adalah 8. Diperhatikan bahwa 8 bukan anggota himpunan $A$. Sedangkan infimum dari himpunan $A$ adalah 1, dengan 1 adalah anggota $A$.
- Supremum himpunan $B=(2,5)\cup\{7\}$ adalah 7 dan infimum himpunan $B$ adalah 2, dengan 2 bukan anggota $B$.
- Himpunan $C=\{x \in \mathbb{R}|x<4\}$ hanya mempunyai supremum yaitu 4.
Dari Contoh 1, 2 dan 3 dapat disimpulkan bahwa supremum ataupun infimum dari suatu himpunan tidak selalu merupakan anggota dari himpunan tersebut. Lebih lanjut, bahwa suatu himpunan belum tentu selalu memiliki supremum dan infimum.
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
[latexpage]
Teorema
Diketahui $S\subset\mathbb{R}$ dan $S\neq\emptyset$.
1. Jika $M=\sup S$, maka $\forall \epsilon >0, \exists x_0 \in S \ni x_0> M-\epsilon$.
2. Jika $m=\inf S$, maka $\forall \epsilon >0, \exists x_1 \in S \ni x_1< m+\epsilon$.
Bukti nomor 1.
Diketahui $M=\sup S$. Andaikan tidak ada $x_0 \in S$ sedemikian sehingga $x_0> M-\epsilon$. Maka $x\leq M-\epsilon, \forall x\in S$ yang berarti $M-\epsilon$ merupakan batas atas $S$. Karena $M-\epsilon < M$, maka $M$ bukan $\sup S$. Kontradiksi. Pengandaian salah dan yang benar $\exists x_0 \in S \ni x_0> M-\epsilon$.
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
[latexpage]
Aksioma Kelengkapan $\mathbb{R}$
Diketahui $S\subset\mathbb{R}$ dan $S\neq\emptyset$. Jika $S$ terbatas ke atas, maka $S$ mempunyai supremum.
Sebagai akibatnya, jika $S$ himpunan bagian tak kosong dari $\mathbb{R}$ terbatas ke bawah, maka $S$ mempunyai infimum.
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]
Mari Belajar Bersama Kami!
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]