Sifat Lengkap Himpunan Bilangan Real

Salah satu sifat dalam sistem bilangan real yang memegang peranan sangat penting yaitu sifat kelengkapan (completeness). Sifat ini menjamin bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari himpunan bilangan real yang terbatas ke atas dijamin nilai supremumnya pasti ada.  Sebelum membahas lebih jauh tentang sifat kelengkapan tersebut, terlebih dahulu akan dijelaskan tentang supremum dan infimum dari suatu himpunan.

Diketahui S himpunan bagian tak kosong dari \mathbb{R}.
Himpunan S dikatakan terbatas ke atas jika S mempunyai batas atas. Dengan kata lain, ada u \in \mathbb{R} \ni x \leq u,\forall x \in S.
Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah jika S mempunyai batas bawah. Dengan kata lain, ada w \in \mathbb{R} \ni x \geq w,\forall x \in S.

Jika S terbatas ke atas, maka S mempunyai tak hingga banyak batas atas. Batas atas S yang paling kecil disebut supremum S, ditulis \sup S.
Jika S terbatas ke bawah, maka S mempunyai tak hingga banyak batas bawah. Batas bawah S yang paling besar disebut infimum S, ditulis \inf S.
Himpunan S dikatakan terbatas jika S terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.

 

Definisi Supremum

Diketahui S\subset\mathbb{R} dan S\neq\emptyset.

Bilangan real M disebut supremum S jika:

  1. M batas atas S,
  2. M\leq u, untuk setiap u batas atas S.   
Definisi Infimum

Diketahui S\subset\mathbb{R} dan S\neq\emptyset.

Bilangan real m disebut infimum S jika:

  1. m batas bawah S,
  2. m\geq w, untuk setiap w batas bawah S.

Selanjutnya, diberikan beberapa contoh bagaimana menentukan supremum dan infimum dari suatu himpunan.

  1. Supremum dari himpunan A=[1,3)\cup(5,8) adalah 8. Diperhatikan bahwa 8 bukan anggota himpunan A. Sedangkan infimum dari himpunan A adalah 1, dengan 1 adalah anggota A.
  2. Supremum himpunan B=(2,5)\cup\{7\} adalah 7 dan infimum himpunan B adalah 2, dengan 2 bukan anggota B.
  3. Himpunan C=\{x \in \mathbb{R}|x<4\} hanya mempunyai supremum yaitu 4.

Dari Contoh 1, 2 dan 3 dapat disimpulkan bahwa supremum ataupun infimum dari suatu himpunan tidak selalu merupakan anggota dari himpunan tersebut. Lebih lanjut, bahwa suatu himpunan belum tentu selalu memiliki supremum dan infimum.

Teorema 

Diketahui S\subset\mathbb{R} dan S\neq\emptyset.
1.  Jika M=\sup S, maka \forall \epsilon >0, \exists x_0 \in S \ni x_0> M-\epsilon.
2. Jika m=\inf S, maka \forall \epsilon >0, \exists x_1 \in S \ni x_1< m+\epsilon.

Bukti nomor 1.
Diketahui M=\sup S. Andaikan tidak ada x_0 \in S sedemikian sehingga x_0> M-\epsilon. Maka x\leq M-\epsilon, \forall x\in S yang berarti M-\epsilon merupakan batas atas S. Karena M-\epsilon < M, maka M bukan \sup S. Kontradiksi. Pengandaian salah dan yang benar \exists x_0 \in S \ni x_0> M-\epsilon.

Aksioma Kelengkapan \mathbb{R}

Diketahui S\subset\mathbb{R} dan S\neq\emptyset. Jika S terbatas ke atas, maka S mempunyai supremum.

Sebagai akibatnya, jika S himpunan bagian tak kosong dari \mathbb{R} terbatas ke bawah, maka S mempunyai infimum.

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.