[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”50px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]

Sifat Himpunan Terbuka dan Tertutup

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ admin_label=”Blog” _builder_version=”4.2.2″][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Pada bagian ini akan dipelajari sifat-sifat dari himpunan terbuka dan himpunan tertutup di R. Pembaca diharapkan telah familiar dengan definisi himpunan terbuka dan tertutup di R. Bagai pembaca yang belum mengetahui definisi himpunan terbuka dan tertutup di R disyarankan untuk mempelajarinya di disini. Di bagian ini akan dipelajari karakter dari himpunan terbuka dan tertutup terhadap operasi irisan dan operasi gabungan.

[/et_pb_text][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Pertama di tunjukkan sifat himpunan terbuka terhadap operasi gabungan dan irisan

[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Sifat 1″ open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]

1. Gabungan tak berhingga himpunan-himpunan terbuka di $\mathbb{R}$ merupakan himpunan terbuka.
2. Irisan berhingga himpunan-himpunan terbuka di $\mathbb{R}$ merupakan himpunan terbuka.

[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Bukti:

1. Katakan $G_i$ terbuka di $\mathbb{R}$ untuk setiap $ i \in I$ dan $G = \bigcup_{i \in I} G_i$. Diambil sebarang $x \in G$, maka terdapat $i_0 \in I$ sehingga $x \in G_{i_0}$. Karena $G_{i_0}$ terbuka di $\mathbb{R}$, terdapat $\varepsilon_x >0$ sehingga $N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq G_{i_0}$. Karena $G_{i_0} \subseteq G$, maka $N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq G$. Terbukti, $G$ terbuka di $\mathbb{R}$.
2. Katakan $G_1, G_2$ terbuka di $\mathbb{R}$ dan $G=G_1 \cap G_2$. Diambil sebarang $x \in G$, maka $x \in G_1$ dan $x \in G_2$. Karena $G_1$ dan $G_2$ terbuka di $\mathbb{R}$, berturut-turut terdapat $\varepsilon^1_x >0$ dan $\varepsilon^2_x>0$ sehingga
   \[N_{\varepsilon^1_x}(x) \subseteq G_1 \text{ dan } N_{\varepsilon^2_x}(x) \subseteq G_2.\]
   Diambil $\varepsilon_x = \min\{\varepsilon^1_x, \varepsilon^2_x\}$. Diperoleh
   \[N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq N_{\varepsilon^1_x}(x) \subseteq G_1 \text{ dan } N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq N_{\varepsilon^2_x}(x) \subseteq G_2.\]
   Jadi, $x \in N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq G$. Dengan kata lain, $G$ terbuka di $\mathbb{R}$.\\ Selanjutnya, menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa irisan berhingga himpunan-himpunan terbuka di $\mathbb{R}$ merupakan himpunan terbuka.

[/et_pb_text][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Sifat berikut merupakan akibat dari Sifat 1. Karena himpunan $F \subseteq \mathbb{R}$ dikatakan tertutup jika $\mathbb{R}-F$ terbuka, akibatnya menggunakan Hukum De Morgan dapat dibuktikan sifat yang bersesuaian dengan Sifat 1 untuk himpunan tertutup sebagai berikut:

[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Sifat 2″ open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]

1. Irisan tak berhingga himpunan-himpunan tertutup di $\mathbb{R}$ merupakan himpunan tertutup.
2. Gabungan berhingga himpunan-himpunan tertutup di $\mathbb{R}$ merupakan himpunan tertutup.

[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]

Mari Belajar Bersama Kami!

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]