Sifat Himpunan Terbuka dan Tertutup

Pada bagian ini akan dipelajari sifat-sifat dari himpunan terbuka dan himpunan tertutup di R. Pembaca diharapkan telah familiar dengan definisi himpunan terbuka dan tertutup di R. Bagai pembaca yang belum mengetahui definisi himpunan terbuka dan tertutup di R disyarankan untuk mempelajarinya di disini. Di bagian ini akan dipelajari karakter dari himpunan terbuka dan tertutup terhadap operasi irisan dan operasi gabungan.

Pertama di tunjukkan sifat himpunan terbuka terhadap operasi gabungan dan irisan

Sifat 1

Gabungan tak berhingga himpunan-himpunan terbuka di $\mathbb{R}$ merupakan himpunan terbuka.
Irisan berhingga himpunan-himpunan terbuka di $\mathbb{R}$ merupakan himpunan terbuka.

Bukti:

Katakan $G_i$ terbuka di $\mathbb{R}$ untuk setiap $i \in I$ dan $G = \bigcup_{i \in I} G_i$ . Diambil sebarang $x \in G$ , maka terdapat $i_0 \in I$ sehingga $x \in G_{i_0}$ . Karena $G_{i_0}$ terbuka di $\mathbb{R}$ , terdapat $\varepsilon_x >0$ sehingga $N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq G_{i_0}$ . Karena $G_{i_0} \subseteq G$ , maka $N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq G$ . Terbukti, $G$ terbuka di $\mathbb{R}$ .
Katakan $G_1, G_2$ terbuka di $\mathbb{R}$ dan $G=G_1 \cap G_2$ . Diambil sebarang $x \in G$ , maka $x \in G_1$ dan $x \in G_2$ . Karena $G_1$ dan $G_2$ terbuka di $\mathbb{R}$ , berturut-turut terdapat $\varepsilon^1_x >0$ dan $\varepsilon^2_x>0$ sehingga

$N_{\varepsilon^1_x}(x) \subseteq G_1 \text{ dan } N_{\varepsilon^2_x}(x) \subseteq G_2.$

Diambil $\varepsilon_x = \min\{\varepsilon^1_x, \varepsilon^2_x\}$ . Diperoleh

$N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq N_{\varepsilon^1_x}(x) \subseteq G_1 \text{ dan } N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq N_{\varepsilon^2_x}(x) \subseteq G_2.$

Jadi, $x \in N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq G$ . Dengan kata lain, $G$ terbuka di $\mathbb{R}$ .\\ Selanjutnya, menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa irisan berhingga himpunan-himpunan terbuka di $\mathbb{R}$ merupakan himpunan terbuka.

Sifat berikut merupakan akibat dari Sifat 1. Karena himpunan $F \subseteq \mathbb{R}$ dikatakan tertutup jika $\mathbb{R}-F$ terbuka, akibatnya menggunakan Hukum De Morgan dapat dibuktikan sifat yang bersesuaian dengan Sifat 1 untuk himpunan tertutup sebagai berikut:

Sifat 2

Irisan tak berhingga himpunan-himpunan tertutup di $\mathbb{R}$ merupakan himpunan tertutup.
Gabungan berhingga himpunan-himpunan tertutup di $\mathbb{R}$ merupakan himpunan tertutup.

Mari Belajar Bersama Kami!

Sifat Himpunan Terbuka dan Tertutup

Sifat 1

Sifat 2

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply