Pendefinisian inner produk (hasil kali dalam) pada suatu ruang vektor pertama kali dikenalkan oleh Giuseppe Peano pada tahun 1898. Ruang pre-Hilbert  atau dikenal juga dengan ruang inner produk adalah ruang yang dilengkapi sebuah struktur yang dinamakan inner produk. Inner produk adalah alat yang membawa pasangan vektor ke besaran…

Norma didefinisikan sebagai fungsi bernilai real yang di definisikan pada sebuah ruang vektor sebagaimana sehingga mempunyai sifat seperti jarak, yaitu tidak bernilai negatif, definite positif, homogenitas positif, dan berlaku ketaksamaan segitiga. Fungsi lain yang juga mempunyai sifat jarak adalah metrik. Selanjutnya, himpunan…

Pada bagian “Barisan” dan “Fungsi” sudah dibahas pengertian dan sifat-sifat dari barisan dan fungsi pada himpunan bilangan real. Pada bagian tersebut konsep jarak yang digunakan adalah jarak yang didefinisikan dengan nilai mutlak. Dengan kata lain, metrik yang digunakan adalah metrik biasa…

Ruang metrik adalah himpunan yang memiliki definisi jarak antara elemen. Metrik pada X adalah sebuah fungsi yang didefinisikan pada X yang mendefinisikan jarak antara dua titik pada X. Ruang metrik merupakan salah satu konsep yang penting dalam bidang analisis. Hal ini dikarenakan konsep ruang metrik banyak digunakan dalam pembahasan konsep-konsep analisis yang lain dan juga digunakan di bidang aplikasi. Sebagai contoh, pembahasan konsep limit pada himpunan…

Diketahui bahwa setiap fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval tertutup adalah fungsi yang kontinu seragam (untuk bukti dari sifat ini pembaca disarankan membaca artikel berikut). Peranan interval tertutup di sini dapat digantikan dengan sebarang himpunan kompak. Himpunan kompak merupakan salah satu konsep yang sangat penting di real analisis dan banyak perannya di aplikasi. Himpunan kompak di sini…

Di dalam sistem bilangan real, nilai mutlak dari suatu bilangan real a diinterprestasikan sebagai jarak titik a ke titik asal 0. Dari interprestasi ini, diperoleh definisi umum dari jarak antara dua bilangan real a dan b yaitu nilai mutlak dari a-b.  Istilah dekat biasanya berhubung…

Pada bagian ini akan dipelajari sifat-sifat dari himpunan terbuka dan himpunan tertutup di R. Pembaca diharapkan telah familiar dengan definisi himpunan terbuka dan tertutup di R. Bagai pembaca yang belum mengetahui definisi himpunan terbuka dan tertutup di R disyarankan untuk mempelajarinya di disini. Di bagian ini akan dipelajari karakter dari himpunan terbuka dan tertutup terhadap operasi irisan dan…

Diketahui banyak sifat-sifat yang menarik berlaku pada interval ( contoh: fungsi kontinu bernilai real yang didefinisikan pada interval [a,b] akan mencapai maksimum dan minimumnya) dan ada beberapa jenis interval (interval terbuka, interval tertutup, interval setengah terbuka). Akan tetapi, banyak himpunan bagian dari himpunan semua bilangan real  yang bukan merupakan…