[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”60px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]
Definisi Ruang Pre-Hilbert
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”3.22″][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”|auto|-58px|auto||” custom_padding=”||22px|||”][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ min_height=”227px” custom_margin=”7px|||||” custom_padding=”|4px||||”]
Pendefinisian inner produk (hasil kali dalam) pada suatu ruang vektor pertama kali dikenalkan oleh Giuseppe Peano pada tahun 1898. Ruang pre-Hilbert atau dikenal juga dengan ruang inner produk adalah ruang yang dilengkapi sebuah struktur yang dinamakan inner produk. Inner produk adalah alat yang membawa pasangan vektor ke besaran skalar. Jadi, secara intuitif inner produk memperkenalkan konsep geometri seperti panjang vektor dan sudut antara dua vektor.
[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/11/pre-hilbert.jpg” _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”||0px|119px||”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”3.25″ background_size=”initial” background_position=”top_left” background_repeat=”repeat”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”3.0.47″ custom_padding=”|||” custom_padding__hover=”|||”][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Inner Produk (Hasil Kali Dalam)” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Diberikan ruang vektor $(V, +, \cdot)$ atas lapangan $\mathbb{C}$. Fungsi $<\cdot, \cdot>:V x V \rightarrow C$ yang memenuhi $\forall x, y, z \in V$ dan $\alpha$ skalar ($\in \mathbb{R} \text{ atau } \mathbb{C}$)
- $<x, y> =\overline{<y,x>}$ (konjugat),
- $<x+y, z> = <x,z> + <y, z>$ (aditivitas),
- $< \alpha x, y> = \alpha <x, y>$ (homogenitas),
- $<x, x> > 0$ dengan $x \neq \bf{0}$ (positifitas)
disebut inner produk pada $V$. Selanjutnya $(V, <\cdot, \cdot>)$ disebut ruang inner product atau ruang Pre-Hilbert.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Contoh:
Diberikan $V =\mathbb{R}^n$. Untuk setiap $\bar{x}, \bar{y}\in V$ didefinisikan fungsi $<\cdot, \cdot>:V x V \rightarrow C$ dengan \[ <\bar{x}, \bar{y}> =\sum_{i=1}^n x_iy_i. \]
Karena untuk setiap $1 \leq i \leq n$ berlaku
- $x_iy_i=y_ix_i$,
- $(x_i+y_i)z_i = x_iz_i + y_iz_i$,
- $(\alpha x_i)y_i = \alpha (x_i y_i)$,
- $x_i x_i = (x_i)^2 >0$,
$<\cdot, \cdot>$ merupakan inner product. Jadi, ruang $(V, <\cdot, \cdot>)$ merupakan ruang pre-Hilbert.
[/et_pb_text][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Dari definisi inner produk, kita dapat mendefinisikan panjang (norma) dari vektor di mana inner produk tersebut didefinisikan.
Diketahui $V$ merupakan ruang vektor dan $<\cdot, \cdot>: V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ merupakan inner produk. Didefinisikan fungsi $\|\cdot\|: V \rightarrow \mathbb{R}$ dengan
\[\|x\| = <x,x> \text{ untuk setiap } x \in V.\]
Karena untuk setiap $x, y, z \in V$ berlaku
- $<x,x> >0$,
- $<x, x> =0 \Leftrightarrow x = {\bf 0}$,
- $<x, y> =<y,x>$,
- $<x, y> \leq <x, z> +<y,z>$,
maka $\|\cdot\|$ merupakan norma pada $V$.
[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Sifat-Sifat Dasar” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Menggukan definisi inner produk, diperoleh sifat-sifat sebagai berikut:
Diketahui $V$ ruang inner produk. Diambil sebarang $x, y, z \in V$ dan skalar $\alpha$.
- Menggunakan sifat positivitas dan homogenitas diperoleh: $<x,x> = 0 \Leftrightarrow x = {\bf 0}$
- Menggunakan sifat konjugat dan homogenitas diperoleh: $<x, \alpha y> =\bar{\alpha}<x, y>$.
- Menggunakan sifat aditivitas dan homogenitas diperoleh: $<x \pm y, z> = <x, z> \pm <y, z>$.
- Menggunakan sifat positivitas dan homogenitas diperoleh: $<x, {\bf 0}> =<{\bf 0}, x> = 0$.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||97px||” custom_padding=”|0px||1px||” locked=”off”]
Mari Belajar Bersama Kami!
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]