Definisi Ruang Pre-Hilbert

Pendefinisian inner produk (hasil kali dalam) pada suatu ruang vektor pertama kali dikenalkan oleh Giuseppe Peano pada tahun 1898. Ruang pre-Hilbert atau dikenal juga dengan ruang inner produk adalah ruang yang dilengkapi sebuah struktur yang dinamakan inner produk. Inner produk adalah alat yang membawa pasangan vektor ke besaran skalar. Jadi, secara intuitif inner produk memperkenalkan konsep geometri seperti panjang vektor dan sudut antara dua vektor.

Definisi Inner Produk (Hasil Kali Dalam)

Diberikan ruang vektor $(V, +, \cdot)$ atas lapangan $\mathbb{C}$ . Fungsi $<\cdot, \cdot>:V x V \rightarrow C$ yang memenuhi $\forall x, y, z \in V$ dan $\alpha$ skalar ( $\in \mathbb{R} \text{ atau } \mathbb{C}$ )

$<x, y> =\overline{<y,x>}$ (konjugat),
$<x+y, z> = <x,z> + <y, z>$ (aditivitas),
$< \alpha x, y> = \alpha <x, y>$ (homogenitas),
$<x, x> > 0$ dengan $x \neq \bf{0}$ (positifitas)

disebut inner produk pada $V$ . Selanjutnya $(V, <\cdot, \cdot>)$ disebut ruang inner product atau ruang Pre-Hilbert.

Contoh:

Diberikan $V =\mathbb{R}^n$ . Untuk setiap $\bar{x}, \bar{y}\in V$ didefinisikan fungsi $<\cdot, \cdot>:V x V \rightarrow C$ dengan

$<\bar{x}, \bar{y}> =\sum_{i=1}^n x_iy_i.$

Karena untuk setiap $1 \leq i \leq n$ berlaku

$x_iy_i=y_ix_i$ ,
$(x_i+y_i)z_i = x_iz_i + y_iz_i$ ,
$(\alpha x_i)y_i = \alpha (x_i y_i)$ ,
$x_i x_i = (x_i)^2 >0$ ,

$<\cdot, \cdot>$ merupakan inner product. Jadi, ruang $(V, <\cdot, \cdot>)$ merupakan ruang pre-Hilbert.

Dari definisi inner produk, kita dapat mendefinisikan panjang (norma) dari vektor di mana inner produk tersebut didefinisikan.

Diketahui $V$ merupakan ruang vektor dan $<\cdot, \cdot>: V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ merupakan inner produk. Didefinisikan fungsi $\|\cdot\|: V \rightarrow \mathbb{R}$ dengan

$\|x\| = <x,x> \text{ untuk setiap } x \in V.$

Karena untuk setiap $x, y, z \in V$ berlaku

$<x,x> >0$ ,
$<x, x> =0 \Leftrightarrow x = {\bf 0}$ ,
$<x, y> =<y,x>$ ,
$<x, y> \leq <x, z> +<y,z>$ ,

maka $\|\cdot\|$ merupakan norma pada $V$ .

Sifat-Sifat Dasar

Menggukan definisi inner produk, diperoleh sifat-sifat sebagai berikut:

Diketahui $V$ ruang inner produk. Diambil sebarang $x, y, z \in V$ dan skalar $\alpha$ .

Menggunakan sifat positivitas dan homogenitas diperoleh: $<x,x> = 0 \Leftrightarrow x = {\bf 0}$
Menggunakan sifat konjugat dan homogenitas diperoleh: $<x, \alpha y> =\bar{\alpha}<x, y>$ .
Menggunakan sifat aditivitas dan homogenitas diperoleh: $<x \pm y, z> = <x, z> \pm <y, z>$ .
Menggunakan sifat positivitas dan homogenitas diperoleh: $<x, {\bf 0}> =<{\bf 0}, x> = 0$ .

Mari Belajar Bersama Kami!

Definisi Ruang Pre-Hilbert

Definisi Inner Produk (Hasil Kali Dalam)

Sifat-Sifat Dasar

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply