Latihan Limit Fungsi (1)

Soal berikut merupakan soal mengenai limit fungsi bilangan real. Untuk mengakses materi mengenai Limit Fungsi, silakan kunjungi laman berikut.

Soal

Diberikan fungsi $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ dan $c\in\mathbb{R}$ . Tunjukkan bahwa $\lim_{x\rightarrow c}{f(x)}=L$ jika dan hanya jika $\lim_{x\rightarrow 0}{f(x+c)}=L$ .

Jawaban:

$\Rightarrow$

Akan ditunjukkan $\lim_{x\rightarrow 0}{f(x+c)}=L$ . Diambil sebarang bilangan $\epsilon>0$ . Karena $\lim_{x\rightarrow c}{f(x)}=L$ , maka terdapat $\delta>0$ sehingga untuk setiap $x\in\mathbb{R}$ dengan $0<|x-c|<\delta$ berlaku

$\begin{equation*} |f(x)-L|<\epsilon. \end{equation*}$

Didefinisikan $y=x-c$ . Jadi, $x=y+c$ . Dengan demikian,

$\begin{equation*}0<|x-c|<\delta \Leftrightarrow 0<|y|<\delta,\end{equation*}$

berlaku $|f(x)-L|<\epsilon \Leftrightarrow |f(y+c)-L|<\epsilon$ . Jadi, untuk setiap bilangan $\epsilon>0$ , terdapat $\delta>0$ sehingga untuk setiap $y\in \mathbb{R}$ dengan $0<|y-0|<\delta$ berlaku

$\begin{equation*}|f(y+c)-L|<\epsilon.\end{equation*}$

Dengan kata lain,

$\begin{equation*}\lim_{y\rightarrow 0}{f(y+c)}=L \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0}{f(x+c)}=L.\end{equation*}$

$\Leftarrow$

Akan ditunjukkan $\lim_{x\rightarrow c}{f(x)}=L$ . Diambil sebarang bilangan $\epsilon>0$ . Karena $\lim_{x\rightarrow 0}{f(x+c)}=L$ , maka terdapat $\delta>0$ sehingga untuk setiap $x\in\mathbb{R}$ dengan $0<|x|<\delta$ berlaku

$\begin{equation*} |f(x+c)-L|<\epsilon. \end{equation*}$

Didefinisikan $y=x+c$ . Jadi, $x=y-c$ . Akibatnya,

$\begin{equation*} 0<|y-c|<\delta, \end{equation*}$

berlaku $|f(y)-L|<\epsilon. Jadi, untuk setiap bilangan$ \epsilon>0 $, terdapat$ \delta>0 $sehingga untuk setiap$ y\in \mathbb{R} $dengan$ 0<|y-c|<\delta$ berlaku

$\begin{equation*} |f(y)-L|<\epsilon. \end{equation*}$

Dengan kata lain,

$\begin{equation*} \lim_{y\rightarrow c}{f(y)}=L \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow c}{f(x)}=L. \end{equation*}$

Mari Belajar Bersama Kami!

Latihan Limit Fungsi (1)

Soal

Jawaban:

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply