Latihan Himpunan Terbuka dan Tertutup 1

Soal berikut merupakan soal mengenai himpunan terbuka dan tertutup pada himpunan bilangan real Untuk mengakses materi mengenai himpunan terbuka dan tertutup, silakan kunjungi laman berikut.

Soal

Selidiki apakah himpunan-himpunan berikut terbuka atau tertutup.

$A= \{x: 0 \leq x < 1\}$ .
$B = [0,1]$ .
$C =$ himpunan semua bilangan rasional.
$D =[\frac{1}{n},1], n \in \mathbb{N}$ .

Jawaban:

Himpunan $A$ tidak terbuka karena untuk setiap persekitaran- $\varepsilon$ dari 0 tidak termuat di $A$ (untuk setiap $\varepsilon>0$ terdapat $x_\varepsilon =-\frac{\varepsilon}{3}<0$ sehingga $x_\varepsilon \in N_\varepsilon(0)$ tetapi $x_\varepsilon \not\in A$ ).
Diperhatikan komplement dari $A$ adalah $\mathbb{R}\setminus A =(-\infty,0) \cup [1, \infty)$ . Karena untuk setiap persekitaran- $\varepsilon$ dari 1 tidak termuat di komplement dari $A$ , maka komplement dari $A$ tidak terbuka. Akibatnya $A$ bukan himpunan tertutup di $\mathbb{R}$ .
Himpunan $B$ tidak terbuka karena untuk setiap persekitaran- $\varepsilon$ dari 0 tidak termuat di $B$ .
Lebih lanjut, komplemen dari $B$ adalah $\mathbb{R}\setminus B = \{x: x < 0 \text{ atau } x > 1\}$ terbuka. Akibatnya, himpunan $B$ tertutup di $\mathbb{R}$ .
Diambil $x \in C$ dan $\varepsilon >0$ , maka $N_\varepsilon(x)$ merupakan persekitaran- $\varepsilon$ dari $x$ . Menurut Teorema Densitas terdapat bilangan irasional $y_1, y_2$ sehingga

$x-\varepsilon \leq y_1 <x < y_2 \leq x+\varepsilon.$

Karena bilangan irasional $y_1, y_2 \in C^c$ dan $y_1, y_2 \in N_\varepsilon(x)$ , maka persekitaran- $\varepsilon$ dari $x$ tidak termuat di $C$ .
Di lain pihak, himpunan $C^c$ merupakan himpunan semua bilangan irasional. Diberikan $x \in C^c$ dan $\varepsilon_x >0$ sebarang. Menurut Teorema Densitas, terdapat bilangan rasional $y_1, y_2$ sehingga

$x-\varepsilon_x \leq y_1 < x < y_2 \leq x+ \varepsilon_x.$

Berarti $y_1, y_2 \in N_{\varepsilon_x}(x)$ dan $y_1, y_2 \in C$ . Jadi $y_1, y_2 \not\in C^c$ . Dengan kata lain, persekitaran- $\varepsilon$ dari $x$ tidak termuat di $C^c$ atau $C^c$ tidak terbuka.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa himpunan $C$ tidak terbuka dan tidak juga tertutup.
Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , komplemen dari $D$ adalah $(-\infty, \frac{1}{n}) \cup (1, \infty)$ . Himpunan $D^c$ terbuka di $\mathbb{R}$ . Jadi, himpunan $D$ tertutup di $\mathbb{R}$ .

Mari Belajar Bersama Kami!

Latihan Himpunan Terbuka dan Tertutup 1

Soal

Jawaban:

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply