Latihan Ruang Metrik

Soal-soal berikut merupakan soal mengenai metrik. Untuk mengakses materi mengenai ruang metrik, silakan kunjungi laman berikut.

Soal

Tunjukkan fungsi $d : \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dengan
$d(\bar{x},\bar{y})=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$

untuk setiap $\bar{x}=(x_1, x_2), \bar{y}=(y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2$ merupakan metrik pada $\mathbb{R}^2$ .
Jika $C[0,1]$ adalah himpunan semua fungsi kontinu dari $[0,1]$ ke $\mathbb{R}$ , tunjukkan fungsi $d_\infty: C[0,1]\times C[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ denganJika $C[0,1]$ adalah himpunan semua fungsi kontinu dari $[0,1]$ ke $\mathbb{R}$ , tunjukkan fungsi $d_\infty: C[0,1]\times C[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ dengan
$d_\infty(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|: x \in [0,1]\}, \text{ untuk setiap } f, g \in C[0,1]$

merupakan metrik pada $C[0,1]$ .

Jawaban:

1. Karena akar kuadrat dari suatu bilangan adalah adalah suatu positif, maka untuk setiap $\bar{x}, \bar{y} \in \mathbb{R}^2$ berlaku $d(\bar{x}, \bar{y}) \geq 0$ .

Tinggal ditunjukkan fungsi $d$ memenuhi sifat definit positif, simetris, dan ketaksamaan segitiga.

(M2) Untuk setiap $\bar{x}, \bar{y} \in \mathbb{R}^2$

$\begin{array}{llll} d(\bar{x}, \bar{y})=0 &\Leftrightarrow& \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}=0\\ & \Leftrightarrow&(x_1-y_1) =0 \text{ dan } (x_2-y_2)=0\\ &\Leftrightarrow& x_1= y_1 \text{ dan } x_2 =y_2. \end{array}$

(M3) Untuk setiap $\bar{x}, \bar{y} \in \mathbb{R}^2$

$\begin{array}{ll} d(\bar{x}, \bar{y}) &= \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\\ & = \sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}\\ & = d(\bar{y}, \bar{x}). \end{array}$

(M4)Untuk meunjukkan fungsi $d$ memenuhi sifat ketaksamaan segitiga, kita menggunakan Teorema ketaksamaan Minkowski.

Teorema (Minkowski Teorema)

Jika $1 \leq p < \infty$ maka

$(\sum_{i=1}^n |p_i-q_i|^p)^{1/p} \leq (\sum_{i=1}^n |p_i|^p)^{1/p} + (\sum_{i=1}^n |q_i|^p)^{1/p}.$

Diambil $p=2$ , $n=2$ , $p_i = (x_i-z_i)+(z_i-y_i)$ dan $q_i =(z_1-y_1))+(z_2-y_2)$ untuk $i =1, 2$ maka

$\begin{array}{ll} d(\bar{x}, \bar{y}) & = \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\\ & =(\displaystyle\sum_{i=1}^2 (x_i-y_i)^2)^{1/2}\\ & = (\displaystyle\sum_{i=1}^2 (((x_i-z_i)+(z_i-y_i))-((z_1-y_1))+(z_2-y_2))^2 )^{1/2}\\ & \leq \sqrt{(x_1-z_1)^2+(x_2-z_2)^2} + \sqrt{(z_1-y_1)^2+(z_2-y_2)^2}\\ & = d(\bar{x}, \bar{z}) +d(\bar{z},\bar{y}). \end{array}$

Jadi terbukti $d(\bar{x},\bar{y})=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$ metrik pada $\mathbb{R}^2$

2.Karena supremum dari nilai mutlak selalu positif maka untuk setiap $f, g \in C[0,1]$ berlaku $d_\infty(f,g) \geq 0$ . Tinggal ditunjukkan fungsi $d$ memenuhi sifat definit positif, simetris, dan ketaksamaan segitiga.

(M2) Diambil sebarang $f, g \in C[0,1]$ , maka

$\begin{array}{lll} d_\infty(f, g)=0 & \Leftrightarrow & \sup\{|f(x)-g(x)|: x \in [0,1]\} =0 \\ & \Leftrightarrow & |f(x)-g(x)|=0 \text{ untuk setiap } x \in [0,1].\\ & \Leftrightarrow & f(x) =g(x) \text{ untuk setiap } x \in [0,1].\end{array}$

(M3) Diambil sebarang $f, g \in C[0,1]$ , maka

$\begin{array}{lll} d_\infty(f, g) & = \sup\{|f(x)-g(x)|: x \in [0,1]\} \\ & =\sup\{|g(x)-f(x)|: x \in [0,1]\} \\ & = d_\infty(g, f). \end{array}$

(M4) Akan ditunjukkan ketaksamaan segitiga. Diambil sebarang $f, g, h \in C[0,1]$ .

$\begin{array}{ll} d_\infty(\bar{x}, \bar{y}) & = \sup\{|f(x)-g(x)|: x \in [0,1]\}\\ & \leq \sup\{|f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|: x \in [0,1]\}\\ & \leq\sup \{|f(x)-h(x)|: x \in [0,1]\}+ \sup \{|h(x)-g(x)|: x \in [0,1]\}\\ & = d_\infty(f, h)+d_\infty(h,g). \end{array}$

Jadi terbukti $d(f, g)=\sup\{|f(x)-g(x)|: x \in [0,1]\}$ metrik pada $C[0,1]$

Mari Belajar Bersama Kami!

Latihan Ruang Metrik

Soal

Jawaban:

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply