Himpunan Bilangan Real sebagai Ruang Vektor

Sistem bilangan real memiliki sifat yang sangat menarik dan menjadi dasar perkembangan dari ilmu analisis. Hal ini terjadi karena sistem bilangan real merupakan ruang vektor yang terurut dan lengkap. Banyak pendefinisian ruang-ruang penting (ruang metrik, ruang bernorma, ruang fungsi, dll.) idenya berasal dari himpunan bilangan real. Oleh karena itu sangat penting untuk mempelajari sistem bilangan real.

Diberikan himpunan bilangan real $\mathbb{R}$ . Operasi biner pada $\mathbb{R}$ merupakan fungsi

$\begin{array}{ll} f:&\mathbb{R}\times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ & (x, y) \mapsto f(x,y).\end{array}$

Himpunan semua bilangan real mempunyai dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan (adisi) yang disimbolkan $+$ dan operasi pekalian (multiplikasi) yang dilambangkan $\cdot$ . Operasi-operasi ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

$(\mathbb{R}, +)$ merupakan grup komutatif, yaitu

[(A1)] $a+b =b+a$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}$ (Komutatif terhadap operasi $+$ ),

[(A2)] $(a+b)+c=a+(b+c)$ untuk setiap $a, b,c \in \mathbb{R}$ (Assosiatif terhadap operasi $+$ ),

[(A3)]terdapat $0\in \mathbb{R}$ sehingga $0+a =a$ untuk setiap $a \in \mathbb{R}$ (Mempunyai elemen netral ),

[(A4)] untuk setiap $a \in \mathbb{R}$ , terdapat $-a \in \mathbb{R}$ sehingga $a+(-a)=0$ (Mempunyai invers).

2. $(\mathbb{R}-\{0\}, \cdot)$ merupakan grup komutatif, yaitu

[(B1)] $a \cdot b =b \cdot a$ untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}-\{0\}$ (Komutatif terhadap operasi $\cdot$ ),

[(B2)] $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)$ untuk setiap $a, b,c \in \mathbb{R}-\{0\}$ (Assosiatif terhadap operasi $\cdot$ ),

[(B3)]terdapat $1\in \mathbb{R}-\{0\}$ sehingga $1 \cdot a =a$ untuk setiap $a \in \mathbb{R}-\{0\}$ (Mempunyai elemen satuan),

[(B4)] untuk setiap $a \in \mathbb{R}-\{0\}$ , terdapat $\frac{1}{a} \in \mathbb{R}-\{0\}$ sehingga $a \cdot \frac{1}{a}=1$ (Mempunyai invers terhadap operasi $\cdot$ ).

3. Distributif

[(i)] $a\cdot(b+c)=a\cdot b+ a \cdot c$ (Distributif kiri )

[(ii)] $(a+b)\cdot c=a\cdot c+ b \cdot c$ (Distributif kanan)

Karena $\mathbb{R}$ bersifat komutatif terhadap operasi $+$ $(A1)$ dan operasi $\cdot$ $(B1)$ , maka sifat $(A3), (A4), (B3),$ dan $(B4)$ berturut-turut dapat dituliskan menjadi

[ $(A3)^\prime$ ] terdapat $0\in \mathbb{R}$ sehingga $0+a =a+0 =a$ untuk setiap $a \in \mathbb{R}$ ,

[ $(A4)^\prime$ ] untuk setiap $a \in \mathbb{R}$ , terdapat $-a \in \mathbb{R}$ sehingga $a+(-a)=(-a)+a=0$ ,

[ $(B3)^\prime$ ] terdapat $1\in \mathbb{R}-\{0\}$ sehingga $1\cdot a =a \cdot 1 =a$ untuk setiap $a \in \mathbb{R}-\{0\}$ ,

[ $(B4)^\prime$ ] untuk setiap $a \in \mathbb{R}-\{0\}$ , terdapat $\frac{1}{a} \in \mathbb{R}-\{0\}$ sehingga $a \cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=1$ .

Mari Belajar Bersama Kami!

Himpunan Bilangan Real sebagai Ruang Vektor

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply