Himpunan Bilangan Real sebagai Ruang Vektor
Sistem bilangan real memiliki sifat yang sangat menarik dan menjadi dasar perkembangan dari ilmu analisis. Hal ini terjadi karena sistem bilangan real merupakan ruang vektor yang terurut dan lengkap. Banyak pendefinisian ruang-ruang penting (ruang metrik, ruang bernorma, ruang fungsi, dll.) idenya berasal dari himpunan bilangan real. Oleh karena itu sangat penting untuk mempelajari sistem bilangan real.

Diberikan himpunan bilangan real . Operasi biner pada
merupakan fungsi
Himpunan semua bilangan real mempunyai dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan (adisi) yang disimbolkan dan operasi pekalian (multiplikasi) yang dilambangkan
. Operasi-operasi ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
-
merupakan grup komutatif, yaitu
[(A1)] untuk setiap
(Komutatif terhadap operasi
),
[(A2)] untuk setiap
(Assosiatif terhadap operasi
),
[(A3)]terdapat sehingga
untuk setiap
(Mempunyai elemen netral ),
[(A4)] untuk setiap , terdapat
sehingga
(Mempunyai invers).
2. merupakan grup komutatif, yaitu
[(B1)] untuk setiap
(Komutatif terhadap operasi
),
[(B2)] untuk setiap
(Assosiatif terhadap operasi
),
[(B3)]terdapat sehingga
untuk setiap
(Mempunyai elemen satuan),
[(B4)] untuk setiap , terdapat
sehingga
(Mempunyai invers terhadap operasi
).
3. Distributif
[(i)] (Distributif kiri )
[(ii)] (Distributif kanan)
Karena bersifat komutatif terhadap operasi
dan operasi
, maka sifat
dan
berturut-turut dapat dituliskan menjadi















