Teori Aplikasi Turunan

TEORI APLIKASI TURUNAN

DEFINISI 1
Diberikan fungsi $f$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $x_0$ berada di $(a,b)$ . Titik $x_0$ disebut titik kritis fungsi $f$ jika $f'(x_0)=0$ atau jika $f'(x_0)$ tidak ada.

DEFINISI 2
Fungsi $f$ mempunyai

maksimum lokal di $x_0$ jika untuk setiap interval terbuka $(a,b)$ yang memuat $x_0$ sehingga $f(x_0)\geq f(x)$ untuk setiap $x\in (a,b)$ .
minimum lokal di $x_0$ jika untuk setiap interval terbuka $(a,b)$ yang memuat $x_0$ sehingga $f(x_0)\leq f(x)$ untuk setiap $x\in (a,b)$ .
maksimum global di $x_0$ jika $f(x_0)\geq f(x)$ untuk setiap $x$ di domain $f$ .
minimum global di $x_0$ jika $f(x_0)\geq f(x)$ untuk setiap $x$ di domain $f$ .

TEOREMA 3

Jika fungsi $f$ mempunyai maksimum lokal atau minimum lokal di $x_0$ , maka $x_0$ merupakan titik kritis fungsi $f$ .

BUKTI:
Diberikan fungsi $f$ mempunyai maksimum lokal atau minimum lokal di $x_0$ . Jika $f'(x_0)$ tidak ada, maka menurut DEFINISI 1 $x_0$ merupakan titik kritis. Sebaliknya, jika diasumsikan bahwa fungsi $f$ mempunyai maksimum lokal di $x_0$ dan $f'(x_0)$ ada. Maka akan ditunjukkan bahwa $f'(x_0)=0$ .

Asumsikan bahwa $f'(x_0)\neq 0$ , maka $f'(x_0)>0$ atau $f'(x_0)<0$ . Jika $f'(x_0)>0$ , maka jika untuk $\Delta x$ cukup kecil, diperoleh

$f(x_0-\Delta x)<f(x_0)<f(x_0+\Delta x)$

dan $f$ tidak akan mempunyai maksimum lokal di $x_0$ karena $f(x_0+\Delta x)>f(x_0)$ . Analog, jika $f'(x_0)<0$ , maka untuk $x_0$ cukup kecil, diperoleh

$f(x_0-\Delta x)>f(x_0)>f(x_0+\Delta x)$

dan $f$ tidak akan mempunyai maksimum lokal di $x_0$ karena $f(x_0-\Delta x)>f(x_0)$ . Akibatnya, diperoleh $f'(x_0)=0$ atau $x_0$ merupakan titik kritis.

Analog untuk $f$ mempunyai minimum lokal.

TEOREMA 4

Diberikan fungsi $f$ diferensiabel di interval terbuka $(a,b)$ yang memuat $x_0$ . Maka

Jika $f'(x_0)=0$ dan $f''(x_0)>0$ , maka $f$ mempunyai minimum lokal di $x_0$
Jika $f'(x_0)=0$ dan $f''(x_0)<0$ , maka $f$ mempunyai maksimum lokal di $x_0$

Submit a Comment Cancel reply