TEORI APLIKASI TURUNAN
DEFINISI 1
Diberikan fungsi $f$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $x_0$ berada di $(a,b)$. Titik $x_0$ disebut titik kritis fungsi $f$ jika $f'(x_0)=0$ atau jika $f'(x_0)$ tidak ada.
DEFINISI 2
Fungsi $f$ mempunyai
- maksimum lokal di $x_0$ jika untuk setiap interval terbuka $(a,b)$ yang memuat $x_0$ sehingga $f(x_0)\geq f(x)$ untuk setiap $x\in (a,b)$.
- minimum lokal di $x_0$ jika untuk setiap interval terbuka $(a,b)$ yang memuat $x_0$ sehingga $f(x_0)\leq f(x)$ untuk setiap $x\in (a,b)$.
- maksimum global di $x_0$ jika $f(x_0)\geq f(x)$ untuk setiap $x$ di domain $f$.
- minimum global di $x_0$ jika $f(x_0)\geq f(x)$ untuk setiap $x$ di domain $f$.
TEOREMA 3
Jika fungsi $f$ mempunyai maksimum lokal atau minimum lokal di $x_0$, maka $x_0$ merupakan titik kritis fungsi $f$.
BUKTI:
Diberikan fungsi $f$ mempunyai maksimum lokal atau minimum lokal di $x_0$. Jika $f'(x_0)$ tidak ada, maka menurut DEFINISI 1 $x_0$ merupakan titik kritis. Sebaliknya, jika diasumsikan bahwa fungsi $f$ mempunyai maksimum lokal di $x_0$ dan $f'(x_0)$ ada. Maka akan ditunjukkan bahwa $f'(x_0)=0$.
Asumsikan bahwa $f'(x_0)\neq 0$, maka $f'(x_0)>0$ atau $f'(x_0)<0$. Jika $f'(x_0)>0$, maka jika untuk $\Delta x$ cukup kecil, diperoleh
\[
f(x_0-\Delta x)<f(x_0)<f(x_0+\Delta x)
\]
dan $f$ tidak akan mempunyai maksimum lokal di $x_0$ karena $f(x_0+\Delta x)>f(x_0)$. Analog, jika $f'(x_0)<0$, maka untuk $x_0$ cukup kecil, diperoleh
\[
f(x_0-\Delta x)>f(x_0)>f(x_0+\Delta x)
\]
dan $f$ tidak akan mempunyai maksimum lokal di $x_0$ karena $f(x_0-\Delta x)>f(x_0)$. Akibatnya, diperoleh $f'(x_0)=0$ atau $x_0$ merupakan titik kritis.
Analog untuk $f$ mempunyai minimum lokal.
TEOREMA 4
Diberikan fungsi $f$ diferensiabel di interval terbuka $(a,b)$ yang memuat $x_0$. Maka
- Jika $f'(x_0)=0$ dan $f”(x_0)>0$, maka $f$ mempunyai minimum lokal di $x_0$
- Jika $f'(x_0)=0$ dan $f”(x_0)<0$, maka $f$ mempunyai maksimum lokal di $x_0$