TEORI APLIKASI TURUNAN
DEFINISI 1
Diberikan fungsi kontinu pada interval
dan
berada di
. Titik
disebut titik kritis fungsi
jika
atau jika
tidak ada.
DEFINISI 2
Fungsi mempunyai
- maksimum lokal di
jika untuk setiap interval terbuka
yang memuat
sehingga
untuk setiap
.
- minimum lokal di
jika untuk setiap interval terbuka
yang memuat
sehingga
untuk setiap
.
- maksimum global di
jika
untuk setiap
di domain
.
- minimum global di
jika
untuk setiap
di domain
.
TEOREMA 3
Jika fungsi mempunyai maksimum lokal atau minimum lokal di
, maka
merupakan titik kritis fungsi
.
BUKTI:
Diberikan fungsi mempunyai maksimum lokal atau minimum lokal di
. Jika
tidak ada, maka menurut DEFINISI 1
merupakan titik kritis. Sebaliknya, jika diasumsikan bahwa fungsi
mempunyai maksimum lokal di
dan
ada. Maka akan ditunjukkan bahwa
.
Asumsikan bahwa , maka
atau
. Jika
, maka jika untuk
cukup kecil, diperoleh
dan tidak akan mempunyai maksimum lokal di
karena
. Analog, jika
, maka untuk
cukup kecil, diperoleh
dan tidak akan mempunyai maksimum lokal di
karena
. Akibatnya, diperoleh
atau
merupakan titik kritis.
Analog untuk mempunyai minimum lokal.
TEOREMA 4
Diberikan fungsi diferensiabel di interval terbuka
yang memuat
. Maka
- Jika
dan
, maka
mempunyai minimum lokal di
- Jika
dan
, maka
mempunyai maksimum lokal di