[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”60px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]
Barisan Konvergen
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”3.22″][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”|6px||||”]
Pada bagian ini akan dijelaskan tentang pengertian kekonvergenan barisan bilangan real. Suatu barisan dikatakan konvergen jika limit barisannya ada. Konsep limit barisan merupakan konsep dasar (basic) dalam matematika analisis. Kekonvergenan pada barisan bilangan real, selanjutnya bisa digeneralisasi pada ruang metrik atau ruang topologi. Untuk lebih jelasnya, berikut diberikan definisi limit barisan.
[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/10/fibonacci-1079776_1280.jpg” align=”center” _builder_version=”4.4.2″ width=”55%” module_alignment=”center” custom_margin=”|6px||||” custom_padding=”0px|||||”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”3.25″ background_size=”initial” background_position=”top_left” background_repeat=”repeat”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”3.0.47″ custom_padding=”|||” custom_padding__hover=”|||”][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Limit Barisan ” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Diketahui $(x_n)$ barisan bilangan real. Suatu bilangan real $x$ dikatakan limit (dari) $(x_n)$ jika untuk setiap $\epsilon >0$, terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ sehingga untuk setiap $n\geq n_0$ berlaku $|x_n-x|<\epsilon$.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Dalam hal ini ditulis $$\lim \limits_{n \to \infty}(x_n)=x$$ atau $$x_n\rightarrow x.$$
Jika $x$ limit barisan $(x_n)$, maka dikatakan $(x_n)$ konvergen ke $x$ atau $(x_n)$ mempunyai limit $x$.
Barisan yang mempunyai limit disebut barisan konvergen. Barisan yang tidak mempunyai limit dikatakan divergen.
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Limit suatu barisan yang konvergen bernilai tunggal. Sifat ketunggalan limit barisan konvergen akan dijelaskan dalam Teorema berikut..
[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Teorema” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Suatu barisan bilangan real yang konvergen mempunyai paling banyak satu limit barisan (tunggal).
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Berikut pembuktian sifat ketunggalan limit barisan bilangan real yang konvergen.
Misalkan $\lim \limits_{n \to \infty}(x_n)=x’$ dan $\lim \limits_{n \to \infty}(x_n)=x”$.
Diambil sembarang $\epsilon >0.$ Berarti ada $n_0,n_1 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\forall n\geq n_0$ dan $\forall n\geq n_1$ berlaku:
$$|x_n-x’|<\frac {\epsilon}{2}~~ \text{dan}~~ |x_n-x”|<\frac {\epsilon}{2}.$$
Diambil $n^*=\max \{n_0,n_1\}$. Diperoleh $\forall n\geq n^*$ berlaku
\begin{equation*}
\begin{split}
|x’-x”|&=|x’-x_n+x_n-x”|\\
&\leq |x’-x_n|+|x_n-x”|\\
& < \frac {\epsilon}{2}+\frac {\epsilon}{2}.
\end{split}
\end{equation*}
Karena $\epsilon >0$ sembarang, maka $x’=x”.$
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Untuk lebih memahami definisi barisan konvergen, berikut diberikan contoh barisan konvergen beserta pembuktiannya.
Menggunakan definisi limit barisan, akan ditunjukkan bahwa barisan $\left(\displaystyle \frac {1}{n}\right)$ konvergen ke 0.
Berikut pembuktiannya.
Diambil sembarang $\epsilon >0$. Berarti $\displaystyle \frac {1}{\epsilon}>0.$ Menurut sifat Archimedes, ada $n_0 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\displaystyle \frac {1}{\epsilon}<n_0$ atau $\displaystyle \frac {1}{n_0}<\epsilon.$
Jadi, untuk setiap $n\geq n_0$ berlaku
$$\left|\displaystyle \frac {1}{n}-0\right|=\left|\displaystyle \frac {1}{n}\right|=\displaystyle \frac {1}{n}\leq \displaystyle \frac {1}{n_0}<\epsilon.$$
Jadi, terbukti $\displaystyle \frac {1}{n} \rightarrow 0.$ Dengan kata lain, terbukti $\lim \limits_{n \to \infty} \displaystyle \frac {1}{n}=0.$
Menggunakan definisi limit barisan, dapat ditunjukkan juga kekonvergenan beberapa barisan berikut.
1. Barisan $\left(\displaystyle \frac {1}{n^2}\right)$ konvergen ke 0.
2. Barisan $\left(\displaystyle \frac {2n}{n+1}\right)$ konvergen ke 2.
3. Barisan $\left(\displaystyle\frac {1}{n}-\displaystyle\frac {1}{n+1}\right)$ konvergen ke 0.
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]
Mari Belajar Bersama Kami!
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]