Barisan Konvergen

Pada bagian ini akan dijelaskan tentang pengertian kekonvergenan barisan bilangan real. Suatu barisan dikatakan konvergen jika limit barisannya ada. Konsep limit barisan merupakan konsep dasar (basic) dalam matematika analisis. Kekonvergenan pada barisan bilangan real, selanjutnya bisa digeneralisasi pada ruang metrik atau ruang topologi. Untuk lebih jelasnya, berikut diberikan definisi limit barisan.

Definisi Limit Barisan

Diketahui $(x_n)$ barisan bilangan real. Suatu bilangan real $x$ dikatakan limit (dari) $(x_n)$ jika untuk setiap $\epsilon >0$ , terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ sehingga untuk setiap $n\geq n_0$ berlaku $|x_n-x|<\epsilon$ .

Dalam hal ini ditulis

$\lim \limits_{n \to \infty}(x_n)=x$

atau

$x_n\rightarrow x.$

Jika $x$ limit barisan $(x_n)$ , maka dikatakan $(x_n)$ konvergen ke $x$ atau $(x_n)$ mempunyai limit $x$ .

Barisan yang mempunyai limit disebut barisan konvergen. Barisan yang tidak mempunyai limit dikatakan divergen.

Limit suatu barisan yang konvergen bernilai tunggal. Sifat ketunggalan limit barisan konvergen akan dijelaskan dalam Teorema berikut..

Teorema

Suatu barisan bilangan real yang konvergen mempunyai paling banyak satu limit barisan (tunggal).

Berikut pembuktian sifat ketunggalan limit barisan bilangan real yang konvergen.

Misalkan $\lim \limits_{n \to \infty}(x_n)=x'$ dan $\lim \limits_{n \to \infty}(x_n)=x"$ .
Diambil sembarang $\epsilon >0.$ Berarti ada $n_0,n_1 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\forall n\geq n_0$ dan $\forall n\geq n_1$ berlaku:

$|x_n-x'|<\frac {\epsilon}{2}~~ \text{dan}~~ |x_n-x"|<\frac {\epsilon}{2}.$

Diambil $n^*=\max \{n_0,n_1\}$ . Diperoleh $\forall n\geq n^*$ berlaku

$\begin{equation*} \begin{split} |x'-x"|&=|x'-x_n+x_n-x"|\\ &\leq |x'-x_n|+|x_n-x"|\\ & < \frac {\epsilon}{2}+\frac {\epsilon}{2}. \end{split} \end{equation*}$

Karena $\epsilon >0$ sembarang, maka $x'=x".$

Untuk lebih memahami definisi barisan konvergen, berikut diberikan contoh barisan konvergen beserta pembuktiannya.

Menggunakan definisi limit barisan, akan ditunjukkan bahwa barisan $\left(\displaystyle \frac {1}{n}\right)$ konvergen ke 0.

Berikut pembuktiannya.

Diambil sembarang $\epsilon >0$ . Berarti $\displaystyle \frac {1}{\epsilon}>0.$ Menurut sifat Archimedes, ada $n_0 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\displaystyle \frac {1}{\epsilon}<n_0$ atau $\displaystyle \frac {1}{n_0}<\epsilon.$
Jadi, untuk setiap $n\geq n_0$ berlaku

$\left|\displaystyle \frac {1}{n}-0\right|=\left|\displaystyle \frac {1}{n}\right|=\displaystyle \frac {1}{n}\leq \displaystyle \frac {1}{n_0}<\epsilon.$

Jadi, terbukti $\displaystyle \frac {1}{n} \rightarrow 0.$ Dengan kata lain, terbukti $\lim \limits_{n \to \infty} \displaystyle \frac {1}{n}=0.$

Menggunakan definisi limit barisan, dapat ditunjukkan juga kekonvergenan beberapa barisan berikut.
1. Barisan $\left(\displaystyle \frac {1}{n^2}\right)$ konvergen ke 0.
2. Barisan $\left(\displaystyle \frac {2n}{n+1}\right)$ konvergen ke 2.
3. Barisan $\left(\displaystyle\frac {1}{n}-\displaystyle\frac {1}{n+1}\right)$ konvergen ke 0.

Mari Belajar Bersama Kami!

Barisan Konvergen

Definisi Limit Barisan

Teorema

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply