Himpunan Terhitung

Kardinalitas adalah alat untuk mengukur ukuran suatu himpunan dengan cara menghitung jumlah elemen dalam himpunan tersebut. Jumlah elemen dalam suatu himpunan dapat dinotasikan dengan $0, 1, 2, 3, 4, $ atau bilangan berhingga lainnya. Suatu himpunan juga bisa memiliki tak berhingga banyak elemen.

Tidak semua tak berhingga himpunan mempunyai kardinalitas yang sama. Oleh karena itu, himpunan tak berhingga dapat dibedakan menjadi dua, yaitu

• Himpunan Terhitung (Countable Sets)
• Himpunan Tak Terhitung (Uncountable Sets)

Definisi 1. Diberikan dua buah himpunan $A$ dan $B$. Himpunan $A$ mempunyai kardinalitas yang sama dengan himpunan $B$, dinotasikan dengan $|A|=|B|$ jika terdapat fungsi bijektif $f$ dari $A$ ke $B$. Lebih lanjut, kardinalitas himpunan $A$ kurang dari atau sama dengan kardinalitas himpunan $B$, $|A|\leq |B|$, jika terdapat fungsi injektif dari $A$ ke $B$.

Secara sederhana, Definisi 1 mengatakan bahwa jika semua elemen $A$ dapat dipasangkan satu – satu dengan elemen $B$, maka himpunan $A$ dan $B$ mempunyai ukuran yang sama.

Definisi 2. 

1. Himpunan $A$ dikatakan denumerable jika terdapat fungsi bijektif dari bilangan asli $\mathbb{N}$ ke $A$.
2. Himpunan $A$ dikatakan terhitung jika berhingga atau denumerable.
3. Himpunan $A$ dikatakan tak terhitung jika tidak terhitung.

Analog, himpunan $A$ terhitung jika setiap elemen $A$ dapat dinotasikan dengan $a_1,a_1,\dots$ atau terdapat fungsi bijektif $f$ dari $A$ ke $\mathbb{N}$. Untuk lebih memahami definisi diatas, kita perhatikan contoh berikut.

Contoh. 

1. Himpunan $E:={2n:n\in\mathbb{N}}$ atau himpunan semua bilangan genap merupakan himpunan terhitung. Hal ini dikarenakan terdapat fungsi bijektif $f:\mathbb{N}\rightarrow E$ yang didefinisikan dengan $f(n):=2n$ untuk $n\in\mathbb{N}$.
2. Himpunan bilangan real $\mathbb{R}$ merupakan himpunan tak terhitung. Untuk membuktikan bahwa $\mathbb{R}$ merupakan himpunan tak terhitung kita menggunakan Teorema Cantor.