Kardinalitas adalah alat untuk mengukur ukuran suatu himpunan dengan cara menghitung jumlah elemen dalam himpunan tersebut. Jumlah elemen dalam suatu himpunan dapat dinotasikan dengan atau bilangan berhingga lainnya. Suatu himpunan juga bisa memiliki tak berhingga banyak elemen.
Tidak semua tak berhingga himpunan mempunyai kardinalitas yang sama. Oleh karena itu, himpunan tak berhingga dapat dibedakan menjadi dua, yaitu
- Himpunan Terhitung (Countable Sets)
- Himpunan Tak Terhitung (Uncountable Sets)
Definisi 1. Diberikan dua buah himpunan dan
. Himpunan
mempunyai kardinalitas yang sama dengan himpunan
, dinotasikan dengan
jika terdapat fungsi bijektif
dari
ke
. Lebih lanjut, kardinalitas himpunan
kurang dari atau sama dengan kardinalitas himpunan
,
, jika terdapat fungsi injektif dari
ke
.
Secara sederhana, Definisi 1 mengatakan bahwa jika semua elemen dapat dipasangkan satu – satu dengan elemen
, maka himpunan
dan
mempunyai ukuran yang sama.
Definisi 2.
- Himpunan
dikatakan denumerable jika terdapat fungsi bijektif dari bilangan asli
ke
.
- Himpunan
dikatakan terhitung jika berhingga atau denumerable.
- Himpunan
dikatakan tak terhitung jika tidak terhitung.
Analog, himpunan terhitung jika setiap elemen
dapat dinotasikan dengan
atau terdapat fungsi bijektif
dari
ke
. Untuk lebih memahami definisi diatas, kita perhatikan contoh berikut.
Contoh.
- Himpunan
atau himpunan semua bilangan genap merupakan himpunan terhitung. Hal ini dikarenakan terdapat fungsi bijektif
yang didefinisikan dengan
untuk
.
- Himpunan bilangan real
merupakan himpunan tak terhitung. Untuk membuktikan bahwa
merupakan himpunan tak terhitung kita menggunakan Teorema Cantor.
Sudah bagus penjelasanya tapi contohnya kurang di mengerti