[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”60px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]
Nested Interval
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”3.22″][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”|6px||||”]
Pada bagian ini akan dijelaskan tentang pengertian Nested Interval dan beberapa contohnya. Nested Interval Property merupakan salah satu sifat yang sangat berperan penting dalam pembuktian sifat tak terhitung (uncountabillity) himpunan bilang real. Sifat lengkap himpunan bilangan real yang sudah dijelaskan pada artikel Sifat Lengkap R memegang peran penting dalam hal pembuktian Nested Interval Property. Untuk lebih jelasnya, berikut diberikan terlebih dahulu definisi Nested Interval.
[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/10/Illustration_nested_intervals.svg.png” align=”center” _builder_version=”4.4.2″ width=”55%” module_alignment=”center” custom_margin=”|6px||||” custom_padding=”0px|||||”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”3.25″ background_size=”initial” background_position=”top_left” background_repeat=”repeat”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”3.0.47″ custom_padding=”|||” custom_padding__hover=”|||”][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Nested Interval” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Barisan interval $(I_n: n \in \mathbb{N})$ dikatakan Nested Interval jika
$$I_1\supseteq I_2 \supseteq I_3\supseteq …\supseteq I_n \supseteq I_{n+1}\supseteq…$$.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”||-24px|||”]
Agar lebih mudah dalam memahami definisi Nested Interval, berikut diberikan beberapa contohnya.
- $I_n=[0,\frac {1}{n}], n \in \mathbb{N}$
- $I_n=(0,\frac {1}{n}), n \in \mathbb{N}$
- $I_n=[0,1+\frac {1}{n}], n \in \mathbb{N}$
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Jika kita perhatikan dari beberapa contoh di atas, Nested interval belum tentu mempunyai elemen berserikat. Agar Nested interval mempunyai elemen berserikat dan tunggal, maka ada syarat cukup yang harus dipenuhi. Syarat cukup yang dimaksud akan dijelaskan dalam Nested Interval Property.
[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Nested Interval Property” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Jika $I_n=[a_n,b_n], n\in \mathbb{N}$ interval tertutup terbatas dan $I_n\supseteq I_{n+1},\forall n\in \mathbb{N}$, maka
$$\cap_{n=1}^{\infty}I_n \neq\emptyset.$$ (yaitu $\exists \mu \in \mathbb{R} \ni \mu \in I_n, \forall n \in \mathbb {N}$)
Selanjutnya jika panjang $I_n=b_n-a_n$ memenuhi $\inf\{b_n-a_n|n \in \mathbb{N}\}=0,$ maka elemen berserikat $\mu$ tersebut tunggal.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Berikut pembuktian Nested Interval Property.
Namakan $A=\{a_n:n \in \mathbb{N}\}$.
Jelas $A\neq\emptyset$, $A\subset \mathbb{R}$, dan $A$ terbatas ke atas
(sebab $I_1\supseteq I_n, \forall n \in \mathbb{N}$ sehingga $a_n \leq b_1, \forall n \in \mathbb{N}$ yang berarti $b_1$ batas atas $A$).
Menurut sifat lengkap $\mathbb{R}$, maka $\sup A$ ada, yaitu terdapat $\alpha \in \mathbb {R}$ sedemikian sehingga $\alpha=\sup A.$
Jelas $a_m\leq\alpha, \forall m \in \mathbb{N}$……(*)
Untuk sebarang $m,n \in \mathbb{N}$ berlaku $$a_n\leq a_{m+n}\leq b_{m+n}\leq b_m$$
atau $$a_n\leq b_m$$
(berarti $b_m$ batas atas $\{a_n:n \in \mathbb{N}\}=A$). Akibatnya,
$$\sup \{a_n:n \in \mathbb{N}\}\leq b_m$$ atau $\alpha \leq b_m.$………(**)
Dari (*) dan (**) diperoleh
$$a_m\leq\alpha\leq b_m,\forall m \in \mathbb{N}$$ yang berarti $$\alpha \in I_m=[a_m,b_m],\forall m \in \mathbb{N}.$$
Hal tersebut berakibat $$\cap_{m=1}^{\infty}I_m \neq\emptyset.$$
Analog, jika $\beta=\inf \{b_n:n \in \mathbb{N}\}$ maka $\beta \in I_m, \forall m \in \mathbb{N}$ sehingga $$\beta \in \cap_{m=1}^{\infty}I_m .$$
Jelas bahwa $\alpha \leq \beta.$
Selanjutnya akan dibuktikan ketunggalan dari elemen berserikat tersebut.
Diambil $\epsilon >0$.
Karena $\inf \{b_n-a_n:n \in \mathbb{N}\}=0$, maka terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga
$$0\leq \beta-\alpha\leq b_{n_0}-a_{n_0}<\epsilon$$
atau $$0\leq \beta-\alpha <\epsilon.$$
Karena $\epsilon >0$ sembarang, maka $\beta-\alpha=0$ atau $\beta=\alpha.$
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Berdasarkan Nested Interval Property, Nested Interval mempunyai elemen berserikat jika intervalnya tertutup terbatas. Lebih lanjut, jika infimum dari himpunan panjang intervalnya bernilai nol, maka elemen berserikat dijamin tunggal.
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]
Mari Belajar Bersama Kami!
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]