[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”60px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]

Definisi Himpunan Kompak

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”3.22″][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”91px|||||” custom_padding=”|4px||||”]

Diketahui bahwa setiap fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval tertutup adalah fungsi yang kontinu seragam (untuk bukti dari sifat ini pembaca disarankan membaca artikel berikut). Peranan interval tertutup di sini dapat digantikan dengan sebarang himpunan kompak. Himpunan kompak merupakan salah satu konsep yang sangat penting di real analisis dan banyak perannya di aplikasi. Himpunan kompak di sini akan didefinisikan dengan liput terbuka.

[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/10/compact-2.jpg” _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”||0px|119px||”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”3.25″ background_size=”initial” background_position=”top_left” background_repeat=”repeat”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”3.0.47″ custom_padding=”|||” custom_padding__hover=”|||”][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Liput Terbuka” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]

Diberikan himpunan $A \subseteq \mathbb{R}$. Liput terbuka dari $A$ adalah koleksi $\mathcal{G} = \{G_\alpha: G_\alpha \text{ terbuka di } \mathbb{R} \text{ dan } \alpha \in I\}$ sehingga
\[A \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} G_\alpha.\]

[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Jika $\mathcal{G}^\prime$ subkoleksi dari $\mathcal{G}$ sehingga gabungan dari himpunan-himpunan di $\mathcal{G}^\prime$ juga memuat $A$, maka $\mathcal{G}^\prime$ disebut liput bagian dari $\mathcal{G}$. Lebih lanjut, jika anggota himpunan-himpunan $\mathcal{G}^\prime$ berhingga maka $\mathcal{G}^\prime$ disebut liput bagian berhingga.

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Suatu himpunan bagian di $\mathbb{R}$ dapat memiliki banyak liput terbuka. Berikut beberapa contoh liput terbuka untuk $A =[0, \infty)$.
\[\begin{array}{ll}
\mathcal{G}_0 & = \{(-1, \infty)\},\\
\mathcal{G}_1 & = \{(r-2, r+1): r \in \mathbb{Q}, r >0\},\\
\mathcal{G}_2 & = \{(n-2, n+1): n \in \mathbb{N}\},\\
\mathcal{G}_3 &=\{(-1,n): n \in \mathbb{N}\},\\
\mathcal{G}_4 &=\{(-\frac{1}{n}, n): n \in \mathbb{N}, n \geq 20\}.
\end{array}\]
Karena $(n-2, n+1) \subseteq (r-2, r+1)$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ dan $r \in \mathbb{Q}, r >0$, maka $\mathcal{G}_2$ merupakan liput bagian dari $\mathcal{G}_1$. Diberikan koleksi ,$\mathcal{G}_5 = \{[1-\frac{1}{n}, n): n \in \mathbb{N}\}$. Karena $A \subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{N}} [1-\frac{1}{n}, n)$ maka $\mathcal{G}_5$ liput dari $A$. Karena $[1-\frac{1}{n}, n)$ tidak terbuka untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ maka $\mathcal{G}_5$ bukan liput terbuka $A$.

[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Himpunan Kompak” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]

DHimpunan $A \subseteq \mathbb{R}$ dikatakan kompak jika untuk setiap liput terbuka dari $A$ mempunyai liput bagian berhingga yang berhingga.
Dengan kata lain, untuk setiap liput terbuka $\mathcal{G} = \{G_\alpha: \alpha \in I\}$ dari $A$, terdapat $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ sehingga
\[A \subseteq \bigcup_{n = 1}^k G_{\alpha_n}.\]

[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Dari Definisi himpunan kompak di atas, himpunan $H$ dikatakan tidak kompak jika terdapat liput terbuka $\mathcal{G}$ dari $H$ tetapi gabungan berhingga dari himpunan-himpunan di $\mathcal{G}$ tidak memuat $H$.

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Dari contoh-contoh liput terbuka di atas, himpunan $A =[0, \infty)$ tidak kompak karena $\mathcal{G}_4$ liput terbuka dari $A$ akan tetapi untuk setiap $\{n_1, n_2, \cdots, n_k\} \subseteq \mathbb{N}$ berlaku $A \not\subseteq \bigcup_{i =1}^k (-\frac{1}{n_i}, n_i)$.

[/et_pb_text][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Contoh:

 

Diketahui $K =\{x_1, x_2, \cdots, x_n\}$ merupakan himpunan bagian berhingga dari $\mathbb{R}$. Diberikan sebarang liput terbuka $\mathcal{G} =\{G_\alpha:\alpha \in I\}$. Untuk setiap $x_i, 1 \leq i \leq n$ berlaku
\[\begin{array}{lll}
x_1 \in &G_{\alpha_1}\\
x_2 \in &G_{\alpha_2}\\
\vdots &\vdots \\
x_n \in & G_{\alpha_n}.
\end{array}\]
Akibatnya gabungan dari himpunan-himpunan di koleksi $\{G_{\alpha_1}, G_{\alpha_2}, \cdots, G_{\alpha_n} \}$ memuat $K$. Jadi, $K$ kompak.

 

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||97px||” custom_padding=”|0px||1px||” locked=”off”]

Mari Belajar Bersama Kami!

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]