Definisi Himpunan Kompak

Diketahui bahwa setiap fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval tertutup adalah fungsi yang kontinu seragam (untuk bukti dari sifat ini pembaca disarankan membaca artikel berikut). Peranan interval tertutup di sini dapat digantikan dengan sebarang himpunan kompak. Himpunan kompak merupakan salah satu konsep yang sangat penting di real analisis dan banyak perannya di aplikasi. Himpunan kompak di sini akan didefinisikan dengan liput terbuka.

Definisi Liput Terbuka

Diberikan himpunan $A \subseteq \mathbb{R}$ . Liput terbuka dari $A$ adalah koleksi $\mathcal{G} = \{G_\alpha: G_\alpha \text{ terbuka di } \mathbb{R} \text{ dan } \alpha \in I\}$ sehingga

$A \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} G_\alpha.$

Jika $\mathcal{G}^\prime$ subkoleksi dari $\mathcal{G}$ sehingga gabungan dari himpunan-himpunan di $\mathcal{G}^\prime$ juga memuat $A$ , maka $\mathcal{G}^\prime$ disebut liput bagian dari $\mathcal{G}$ . Lebih lanjut, jika anggota himpunan-himpunan $\mathcal{G}^\prime$ berhingga maka $\mathcal{G}^\prime$ disebut liput bagian berhingga.

Suatu himpunan bagian di $\mathbb{R}$ dapat memiliki banyak liput terbuka. Berikut beberapa contoh liput terbuka untuk $A =[0, \infty)$ .

$\begin{array}{ll}\mathcal{G}_0 & = \{(-1, \infty)\},\\\mathcal{G}_1 & = \{(r-2, r+1): r \in \mathbb{Q}, r >0\},\\\mathcal{G}_2 & = \{(n-2, n+1): n \in \mathbb{N}\},\\\mathcal{G}_3 &=\{(-1,n): n \in \mathbb{N}\},\\\mathcal{G}_4 &=\{(-\frac{1}{n}, n): n \in \mathbb{N}, n \geq 20\}.\end{array}$

Karena $(n-2, n+1) \subseteq (r-2, r+1)$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ dan $r \in \mathbb{Q}, r >0$ , maka $\mathcal{G}_2$ merupakan liput bagian dari $\mathcal{G}_1$ . Diberikan koleksi , $\mathcal{G}_5 = \{[1-\frac{1}{n}, n): n \in \mathbb{N}\}$ . Karena $A \subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{N}} [1-\frac{1}{n}, n)$ maka $\mathcal{G}_5$ liput dari $A$ . Karena $[1-\frac{1}{n}, n)$ tidak terbuka untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ maka $\mathcal{G}_5$ bukan liput terbuka $A$ .

Definisi Himpunan Kompak

DHimpunan $A \subseteq \mathbb{R}$ dikatakan kompak jika untuk setiap liput terbuka dari $A$ mempunyai liput bagian berhingga yang berhingga.
Dengan kata lain, untuk setiap liput terbuka $\mathcal{G} = \{G_\alpha: \alpha \in I\}$ dari $A$ , terdapat $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ sehingga

$A \subseteq \bigcup_{n = 1}^k G_{\alpha_n}.$

Dari Definisi himpunan kompak di atas, himpunan $H$ dikatakan tidak kompak jika terdapat liput terbuka $\mathcal{G}$ dari $H$ tetapi gabungan berhingga dari himpunan-himpunan di $\mathcal{G}$ tidak memuat $H$ .

Dari contoh-contoh liput terbuka di atas, himpunan $A =[0, \infty)$ tidak kompak karena $\mathcal{G}_4$ liput terbuka dari $A$ akan tetapi untuk setiap $\{n_1, n_2, \cdots, n_k\} \subseteq \mathbb{N}$ berlaku $A \not\subseteq \bigcup_{i =1}^k (-\frac{1}{n_i}, n_i)$ .

Contoh:

Diketahui $K =\{x_1, x_2, \cdots, x_n\}$ merupakan himpunan bagian berhingga dari $\mathbb{R}$ . Diberikan sebarang liput terbuka $\mathcal{G} =\{G_\alpha:\alpha \in I\}$ . Untuk setiap $x_i, 1 \leq i \leq n$ berlaku

$\begin{array}{lll}x_1 \in &G_{\alpha_1}\\x_2 \in &G_{\alpha_2}\\\vdots &\vdots \\x_n \in & G_{\alpha_n}.\end{array}$

Akibatnya gabungan dari himpunan-himpunan di koleksi $\{G_{\alpha_1}, G_{\alpha_2}, \cdots, G_{\alpha_n} \}$ memuat $K$ . Jadi, $K$ kompak.

Mari Belajar Bersama Kami!

Definisi Himpunan Kompak

Definisi Himpunan Kompak

Definisi Liput Terbuka

Definisi Himpunan Kompak

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply