[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”50px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]
Definisi Himpunan Terbuka dan Tertutup
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ admin_label=”Blog” _builder_version=”4.2.2″][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Diketahui banyak sifat-sifat yang menarik berlaku pada interval ( contoh: fungsi kontinu bernilai real yang didefinisikan pada interval [a,b] akan mencapai maksimum dan minimumnya) dan ada beberapa jenis interval (interval terbuka, interval tertutup, interval setengah terbuka). Akan tetapi, banyak himpunan bagian dari himpunan semua bilangan real yang bukan merupakan interval.
Oleh karena itu perlu pendefinisian himpunan terbuka dan himpunan tertutup pada $\mathbb{R}$ secara umum. Ide pendefinisian himpunan terbuka diperoleh dari generalisasi interval terbuka dan untuk mendefinisikan himpunan terbuka dan tertutup diperlukan konsep persekitaran. Berikut diberikan definisi persekitaran di suatu titik $x \in \mathbb{R}$.
[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi persekitaran” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Diberikan titik $x \in \mathbb{R}$ dan $\varepsilon >0$. Himpunan $V \subseteq \mathbb{R}$ disebut persekitaran dari $x$ jika terdapat persekitaran-$\varepsilon$ $N_\varepsilon(x)$ dari $x$ sehingga $x \in N_\varepsilon(x) \subseteq V$
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/10/persekitaran-epsilon.jpg” admin_label=”Persekitaran” _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”|||234px||”][/et_pb_image][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi himpunan terbuka dan himpunan tertutup” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
- Himpunan $G \subseteq \mathbb{R}$ dikatakan terbuka di $\mathbb{R}$ jika untuk setiap $x \in G$, terdapat persekitaran $V$ dari $x$ sehingga $V \subseteq G$.
- Himpunan $F$ dikatakan tertutup di $\mathbb{R}$ jika $\mathbb{R}\setminus F$ terbuka di $\mathbb{R}$.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row column_structure=”3_5,2_5″ _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”|auto|-191px|auto||”][et_pb_column type=”3_5″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”||0px|||”]
Karena untuk setiap persekitaran-$\varepsilon$ $N_\varepsilon(x)$ dari $x$ berlaku $x \in N_\varepsilon(x)$ dan $N_\varepsilon(x)$ terbuka (untuk bukti lihat di sini, maka
| himpunan $G$ terbuka jika untuk setiap $x \in G$ terdapat $\varepsilon_x >0$ sehingga $N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq G$. |
Seperti yang diketahui bahwa di dalam ruang lingkup topologi tidak menggunakan istilah “jarak”, maka untuk sebarang himpunan perlu diformulasikan kembali pengertian persekitaran dipandang dari sisi topologi. Definisi persekitaran diberikan berikut:
|
Diketahui $X$ himpunan tidak kosong dan $x \in X$. Himpunan $V \subseteq X$ disebut persekitaran dari $x$ jika terdapat himpunan terbuka $U$ sehingga \[x \in U \subseteq V.] |
[/et_pb_text][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Contoh
[/et_pb_text][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”|-458px||||”]
- Interval $(a, b)$ terbuka di $\mathbb{R}$, untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}$. Jelas, karena untuk setiap $x \in (a, b)$ terdapat $\varepsilon_x = \frac{1}{3}\min\{x-a, b-x\}$ sehingga $x\in N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq (a,b)$.
- Himpunan kosong $\emptyset$ terbuka di $\mathbb{R}$. Hal ini jelas karena himpunan kosong tidak memuat elemen sehingga memenuhi kondisi definisi himpunan terbuka.
Himpunan semua bilangan real $\mathbb{R}$ terbuka karena jelas untuk setiap $x \in \mathbb{R}$, dapat ditemukan $\varepsilon >0$ sehingga $N_{\varepsilon_x}(x)\subseteq \mathbb{R}$.\\
Karena $\emptyset^c =\mathbb{R}$ dan $\mathbb{R}^c=\emptyset$, maka himpunan $\emptyset$, dan $\mathbb{R}$ juga tertutup.
[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”2_5″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/10/20201017_221440.gif” _builder_version=”4.4.2″][/et_pb_image][et_pb_image _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”||0px|||”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”|auto|-4px|auto||” custom_padding=”9px||0px|||”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||205px||” custom_padding=”|2px||1px||” locked=”off”]
Mari Belajar Bersama Kami!
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]