Definisi Himpunan Terbuka dan Tertutup

Diketahui banyak sifat-sifat yang menarik berlaku pada interval ( contoh: fungsi kontinu bernilai real yang didefinisikan pada interval [a,b] akan mencapai maksimum dan minimumnya) dan ada beberapa jenis interval (interval terbuka, interval tertutup, interval setengah terbuka). Akan tetapi, banyak himpunan bagian dari himpunan semua bilangan real yang bukan merupakan interval.

Oleh karena itu perlu pendefinisian himpunan terbuka dan himpunan tertutup pada $\mathbb{R}$ secara umum. Ide pendefinisian himpunan terbuka diperoleh dari generalisasi interval terbuka dan untuk mendefinisikan himpunan terbuka dan tertutup diperlukan konsep persekitaran. Berikut diberikan definisi persekitaran di suatu titik $x \in \mathbb{R}$ .

Definisi persekitaran

Diberikan titik $x \in \mathbb{R}$ dan $\varepsilon >0$ . Himpunan $V \subseteq \mathbb{R}$ disebut persekitaran dari $x$ jika terdapat persekitaran- $\varepsilon$ $N_\varepsilon(x)$ dari $x$ sehingga $x \in N_\varepsilon(x) \subseteq V$

Definisi himpunan terbuka dan himpunan tertutup

Himpunan $G \subseteq \mathbb{R}$ dikatakan terbuka di $\mathbb{R}$ jika untuk setiap $x \in G$ , terdapat persekitaran $V$ dari $x$ sehingga $V \subseteq G$ .
Himpunan $F$ dikatakan tertutup di $\mathbb{R}$ jika $\mathbb{R}\setminus F$ terbuka di $\mathbb{R}$ .

Karena untuk setiap persekitaran- $\varepsilon$ $N_\varepsilon(x)$ dari $x$ berlaku $x \in N_\varepsilon(x)$ dan $N_\varepsilon(x)$ terbuka (untuk bukti lihat di sini, maka

himpunan $G$ terbuka jika untuk setiap $x \in G$ terdapat $\varepsilon_x >0$ sehingga $N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq G$ .

Seperti yang diketahui bahwa di dalam ruang lingkup topologi tidak menggunakan istilah “jarak”, maka untuk sebarang himpunan perlu diformulasikan kembali pengertian persekitaran dipandang dari sisi topologi. Definisi persekitaran diberikan berikut:

Diketahui $X$ himpunan tidak kosong dan $x \in X$ . Himpunan $V \subseteq X$ disebut persekitaran dari $x$ jika terdapat himpunan terbuka $U$ sehingga

\[x \in U \subseteq V.]

Contoh

Interval $(a, b)$ terbuka di $\mathbb{R}$ , untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}$ . Jelas, karena untuk setiap $x \in (a, b)$ terdapat $\varepsilon_x = \frac{1}{3}\min\{x-a, b-x\}$ sehingga $x\in N_{\varepsilon_x}(x) \subseteq (a,b)$ .
Himpunan kosong $\emptyset$ terbuka di $\mathbb{R}$ . Hal ini jelas karena himpunan kosong tidak memuat elemen sehingga memenuhi kondisi definisi himpunan terbuka.
Himpunan semua bilangan real $\mathbb{R}$ terbuka karena jelas untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ , dapat ditemukan $\varepsilon >0$ sehingga $N_{\varepsilon_x}(x)\subseteq \mathbb{R}$ .\\
Karena $\emptyset^c =\mathbb{R}$ dan $\mathbb{R}^c=\emptyset$ , maka himpunan $\emptyset$ , dan $\mathbb{R}$ juga tertutup.

Mari Belajar Bersama Kami!