[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”60px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]
Ruang Metrik
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”3.22″][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”91px|||||” custom_padding=”|4px||||”]
Ruang metrik adalah himpunan yang memiliki definisi jarak antara elemen. Metrik pada X adalah sebuah fungsi yang didefinisikan pada X yang mendefinisikan jarak antara dua titik pada X. Ruang metrik merupakan salah satu konsep yang penting dalam bidang analisis. Hal ini dikarenakan konsep ruang metrik banyak digunakan dalam pembahasan konsep-konsep analisis yang lain dan juga digunakan di bidang aplikasi. Sebagai contoh, pembahasan konsep limit pada himpunan bilangan real menggunakan nilai mutlak |x–y| untuk menyatakan jarak antara titik x dan y. Peranan nilai mutlak ini dapat diperluas dengan metrik.
[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/11/metric.jpg” _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”||0px|119px||”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”3.25″ background_size=”initial” background_position=”top_left” background_repeat=”repeat”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”3.0.47″ custom_padding=”|||” custom_padding__hover=”|||”][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Metrik” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]
Diberikan sebarang himpunan tak kosong $X$. Fungsi $d:\; X\;\times\; X\rightarrow\mathbb{R}$ yang memenuhi sifat-sifat
(M1) $d(x,y)\geq 0$ untuk setiap $x,y\in X$
(M2) $d(x,y)=0$ jika dan hanya jika $x=y \text{ (definit positif) }$
(M3) $d(x,y)=d(y,x)$ untuk setiap $x,y\in X \text{ (simetris) }$
(M4) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)$ untuk setiap $x,y,z\in X \text{ (Ketaksamaan segitiga) }$
disebut jarak (metrik) pada $X$. Pasangan $(X,d)$ disebut dengan ruang metrik.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Contoh 1:
Didefinisikan fungsi $d_1 : \mathbb{R}\times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dengan $$d_1(x,y)=|x-y| \text{ untuk setiap } x, y \in \mathbb{R}.$$
Sifat $(1)-(4)$ dipenuhi dari sifat nilai mutlak (sifat-sifat nilai mutlak dapat dilihat di sini). Selanjutnya, metrik $d_1$ dikenal dengan metrik biasa.
[/et_pb_text][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]
Diberikan ruang metrik $(X,d)$ dan sebarang titik $a\in X$ dan konstanta real $r>0$, didefinisikan himpunan:
\[N_{r}(a)=\{x\in X:\; d(x,a)<r\}\]
yang disebut dengan persekitaran titik $a$ dengan jari-jari $r$. Dari himpunan tersebut, sifat-sifat topologis dari ruang metrik dapat ditelusuri lebih lanjut.
Khusus untuk ruang metrik $(\mathbb{R}, d)$ dengan metrik biasa, maka diperoleh sifat-sifat topologis yang berada di Dasar-dasar topologi.
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”27px||27px||true|” custom_padding=”|4px||||”]
Contoh 2:
Berikut diberikan contoh metrik pada $\mathbb{R}^2$.
1. Fungsi jarak berikut diperoleh dari Teorema Phytagoras yang didefinisikan pada $\mathbb{R}^2$. Didefinisikan metrik $d_2 : \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dengan $$d_2(\bar{x},\bar{y})=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2} \text{ untuk setiap } \bar{x},\bar{y} \in \mathbb{R}^2$$ dengan $\bar{x}=(x_1, x_2), \bar{y}=(y_1, y_2)$. Selanjutnya, metrik $d_2$ dikenal dengan metrik Euclid.
2. Fungsi jarak berikut dikenal dengan taxi cab metrik. Didefinisikan metrik $d_3 : \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dengan $$d_3(\bar{x},\bar{y})=|x_1-y_1|+|x_2-y_2| \text{ untuk setiap } \bar{x}=(x_1, x_2), \bar{y}=(y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2.$$ Sifat (1)-(3) dipenuhi dari sifat nilai mutlak. Sifat ketaksamaan segitiga dipenuhi karena untuk setiap $\bar{x}, \bar{y}, \bar{z} \in \mathbb{R}^2$ \[\begin{array}{ll} d_3(\bar{x}, \bar{y}) & =|x_1-y_1|+|x_2-y_2|\\ & = |x_1-z_1+z_1-y_1|+|x_2-z_2+z_2 -y_2|\\ & \leq |x_1-z_1|+|z_1-y_1| + |x_2-z_2|+|z_2 -y_2|\\ & = d(\bar{x}, \bar{z})+d(\bar{y}, \bar{z}). \end{array} \]
[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/11/Euclidean-Taxi-cab.jpg” admin_label=”Metrik Euclid (Hijau) dan Metrik Taxi cab (Merah, Kuning, Biru)” _builder_version=”4.4.2″ custom_margin=”118px|||||” custom_padding=”||0px|119px||”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″][et_pb_accordion_item title=”Contoh 3:” open=”on” title_tablet=”” title_phone=”” title_last_edited=”on|desktop” _builder_version=”4.4.2″ title__hover_enabled=”on|desktop”]
Diketahui sebarang himpunan tak kosong $X $ . Fungsi $d_4: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ merupakan metrik dengan
\[d_4(x, y)=\left\{ \begin{array}{ll} 1, &\text{ jika } x \neq y \\ 0, &\text{ jika } x=y. \end{array}\right. \]
Metrik ini disebut metrik diskret.
[/et_pb_accordion_item][et_pb_accordion_item title=”Your Title Goes Here” _builder_version=”4.4.2″ open=”off”]
Your content goes here. Edit or remove this text inline or in the module Content settings. You can also style every aspect of this content in the module Design settings and even apply custom CSS to this text in the module Advanced settings.
[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||97px||” custom_padding=”|0px||1px||” locked=”off”]
Mari Belajar Bersama Kami!
[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]