[et_pb_section fb_built=”1″ next_background_color=”#ffffff” admin_label=”Header” _builder_version=”4.2.2″ background_color=”#f8f9fa” bottom_divider_style=”curve”][et_pb_row _builder_version=”4.3.2″ locked=”off”][et_pb_column type=”4_4″ saved_specialty_column_type=”1_2″ _builder_version=”4.2.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Playfair Display|700|||||||” header_font_size=”60px” header_line_height=”1.1em” text_orientation=”center” header_font_size_tablet=”40px” header_font_size_phone=”30px” header_font_size_last_edited=”on|phone”]

Definisi Ruang Bernorma

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ _builder_version=”3.22″][et_pb_row column_structure=”1_2,1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ min_height=”227px” custom_margin=”7px|||||” custom_padding=”|4px||||”]

Norma didefinisikan sebagai fungsi bernilai real yang di definisikan pada sebuah ruang vektor sebagaimana sehingga mempunyai sifat seperti jarak, yaitu tidak bernilai negatif, definite positif, homogenitas positif, dan berlaku ketaksamaan segitiga. Fungsi lain yang juga mempunyai sifat jarak adalah metrik. Selanjutnya, himpunan di mana norma tersebut didefinisikan disebut ruang bernorma.

Dengan norma atau fungsi jarak lainya, kita dapat mendefinisikan konsep-konsep dasar yang ada di analisis real seperti Kekonvergenan, Kekontinuan, dan Kekompakan.

[/et_pb_text][/et_pb_column][et_pb_column type=”1_2″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_image src=”https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/wp-content/uploads/sites/1301/2020/11/hilbert.jpg” _builder_version=”4.4.2″ custom_padding=”||0px|119px||”][/et_pb_image][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”3.25″ background_size=”initial” background_position=”top_left” background_repeat=”repeat”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”3.0.47″ custom_padding=”|||” custom_padding__hover=”|||”][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Definisi Norma” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]

Ruang bernorma adalah ruang vektor $X$ atas $\\mathbb{R}$ ( atau  $\\mathbb{C}$) yang dilengkapi fungsi \\[X \\rightarrow [0,1), \\hspace{0.5cm} x \\mapsto \\|x\\|,\\]yang memenuhi sifat:

1. $ \\|x\\|\\geq 0, \\forall x \\in X$ (non-negatif).
2.  $\\|x\\|=0\\Longleftrightarrow x=0, \\forall x \\in X$ (definite positif).
3. $\\displaystyle \\|\\alpha x\\|=|\\alpha |\\|x\\|, \\forall x \\in X, \\alpha \\in \\mathbb{R} \\text{ atau } \\mathbb{C}$ (homogenitas positif).
4. $\\displaystyle \\|x+y\\|\\leq \\|x\\|+\\|y\\|, \\forall x, y \\in X$ (ketidaksamaan segitiga).

Selanjutnya, fungsi $\\|\\cdot\\|$ disebut norma pada $X$.

[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Diberikan norma $\\|\\cdot\\|$ pada $X$. Didefinisikan fungsi $d: X \\times X \\rightarrow \\mathbb{R}$ dengan  $d(x, y) = \\|x-y\\|$ untuk setiap $x, y \\in X$. Jelas fungsi $d$ memenuhi sifat-sifat (1)-(4) pada metrik. Dari sini, kita menyimpulkan bahwa setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik akan tetapi terdapat metrik yang bukan norma.

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Contoh:

 Diberikan $X =\\mathbb{R}^n$. Diberikan metrik diskrit $d: X x X \\rightarrow \\mathbb{R}$, yaitu

\\[ d(x, y)=\\left\\{ \\begin{array}{ll} 1, &\\text{ jika } x \\neq y \\\\ 0, &\\text{ jika } x=y.     \\end{array}\\right. \\]

Jika ada norma $\\|\\cdor\\|$ sehingga $d(x,y) =\\|x-y\\|$ untuk setiap $x, y \\in X$, maka untuk $x =2$ berlaku $d(x, 0)= \\|x\\|= 2$. Hal ini kontradiksi dengan $d(x,0) =1$. Jadi, metrik diskrit tidak dibangkitkan oleh sebuah norma.

[/et_pb_text][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Contoh:

Diberikan $X =\\mathbb{R}^n$. Didefinisikan fungsi $d: X \\rightarrow \\mathbb{R}$ dengan \\[ \\|\\bar{x}\\|_{\\infty}=\\sup\\{|x_i|:i= 1, 2, \\cdots, n\\} \\hspace{0.5cm} \\text{ untuk } p =\\infty. \\] Menggunakan sifat nilai mutlak, sifat (1)-(4) dipenuhi. Norma $\\|\\cdot\\|_\\infty$ dikenal dengan norma supremum. Jadi,  ruang $(X, \\|\\cdot\\|_\\infty)$ merupakan ruang bernorma.

[/et_pb_text][et_pb_accordion _builder_version=”4.4.2″ positioning=”relative” width=”81.2%” custom_margin=”|-53px||97px||” animation_style=”fade” animation_duration=”1100ms” animation_speed_curve=”ease-out” locked=”off”][et_pb_accordion_item title=”Ekuivalensi dua norma” open=”on” _builder_version=”4.4.2″ box_shadow_style=”preset1″]

Norma $\\|\\cdot\\|$ dan $\\|\\cdot\\|_*$ pada ruang $X$ dikatakan ekuivalen jika terdapat dua bilangan real positif $a, b$ sehingga  \\[ a\\|\\cdot\\| \\leq \\|\\cdot\\|_* \\leq b \\|\\cdot\\|. \\]

[/et_pb_accordion_item][/et_pb_accordion][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Contoh:

 Norma $\\|\\cdot\\|_2$ dan $\\|\\cdot\\|_{\\infty}$ ekuivalen pada $\\mathbb{R}^n$.

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][et_pb_row _builder_version=”4.4.2″][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.4.2″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″]

Diketahui $(X, \\|\\cdot\\|)$ ruang bernorma dan $\\varepsilon >0$. Persekitaran-$\\varepsilon$ dari $x \\in X$ adalah himpunan

\\[N_\\varepsilon(x)=\\{y:\\|x-y\\| < \\varepsilon\\}.\\]

Berikut beberapa konsep di analisis real yang didefinisikan dalam ruang bernorma. Dengan mengganti persekitaran-$\\varepsilon$ pada $\\mathbb{R}$ dengan persekitaran-$\\varepsilon$ pada ruang bernorma,  sifat-sifat berkaitan yang ada di konvergen, kontinu dan topologi dapat dibuktikan juga berlaku di ruang bernorma $(X, \\|\\cdot\\|)$.

Diketahui $X$ ruang bernorma dengan norma $\\|\\cdot\\|$.

1. Titik $\\bar{x}\\in X$ disebut  titik limit himpunan $A \\subseteq X$, jika untuk setiap persekitaran dari $\\bar{x}$ memuat paling sedikit satu titik $A$ yang berbeda dengan $\\bar{x}$.
2. Fungsi $f: X \\rightarrow \\mathbb{R}$ dikatakan  kontinu di $\\bar{x} \\in X$ jika  untuk setiap $\\varepsilon >0$, terdapat $\\delta >0$ sehingga untuk setiap $\\bar{y}\\in X$ dengan  $\\|\\bar{x}-\\bar{y}\\| < \\delta$ berlaku  $|f(\\bar{x})-f(\\bar{y})| <\\varepsilon$.
3. Titik $\\bar{x}\\in X$ disebut limit barisan  $\\{\\bar{x}_n\\}$ jika untuk setiap $\\varepsilon >0$, terdapat $n_0 \\in \\mathbb{N}$ sehingga untuk setiap $n \\in \\mathbb{N}$ dengan $n \\geq n_0$ berlaku  $\\|\\bar{x}_n -\\bar{x}\\|< \\varepsilon.$

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section][et_pb_section fb_built=”1″ custom_padding_last_edited=”off|tablet” admin_label=”Footer” _builder_version=”4.4.2″ background_enable_image=”off” background_size=”contain” background_position=”bottom_center” custom_margin=”||1px|||” custom_padding=”||0vw||false|false” custom_padding_tablet=”||||false|false” locked=”off”][et_pb_row custom_padding_last_edited=”on|tablet” _builder_version=”4.3.2″ background_image=”https://juviagift.com/wp-content/uploads/2020/06/bac-01.png” background_size=”contain” custom_padding=”160px|100px|100px|100px|false|true” custom_padding_tablet=”10px|40px|10px|40px|true|true” custom_padding_phone=”0px|0px|0px|0px|true|true”][et_pb_column type=”4_4″ _builder_version=”4.0.8″][et_pb_text _builder_version=”4.4.2″ text_font=”PT Sans||||||||” text_font_size=”16px” text_line_height=”1.8em” header_font=”Chilanka||||||||” header_text_align=”center” text_orientation=”center” max_width=”481px” custom_margin=”|210px||97px||” custom_padding=”|0px||1px||” locked=”off”]

Mari Belajar Bersama Kami!

[/et_pb_text][/et_pb_column][/et_pb_row][/et_pb_section]