Definisi Ruang Bernorma

Norma didefinisikan sebagai fungsi bernilai real yang di definisikan pada sebuah ruang vektor sebagaimana sehingga mempunyai sifat seperti jarak, yaitu tidak bernilai negatif, definite positif, homogenitas positif, dan berlaku ketaksamaan segitiga. Fungsi lain yang juga mempunyai sifat jarak adalah metrik. Selanjutnya, himpunan di mana norma tersebut didefinisikan disebut ruang bernorma.

Dengan norma atau fungsi jarak lainya, kita dapat mendefinisikan konsep-konsep dasar yang ada di analisis real seperti Kekonvergenan, Kekontinuan, dan Kekompakan.

Definisi Norma

Ruang bernorma adalah ruang vektor $X$ atas $\\mathbb{R}$ ( atau $\\mathbb{C}$ ) yang dilengkapi fungsi \

$X \\rightarrow [0,1), \\hspace{0.5cm} x \\mapsto \\|x\\|,\$

yang memenuhi sifat:

$\\|x\\|\\geq 0, \\forall x \\in X$ (non-negatif).
$\\|x\\|=0\\Longleftrightarrow x=0, \\forall x \\in X$ (definite positif).
$\\displaystyle \\|\\alpha x\\|=|\\alpha |\\|x\\|, \\forall x \\in X, \\alpha \\in \\mathbb{R} \\text{ atau } \\mathbb{C}$ (homogenitas positif).
$\\displaystyle \\|x+y\\|\\leq \\|x\\|+\\|y\\|, \\forall x, y \\in X$ (ketidaksamaan segitiga).

Selanjutnya, fungsi $\\|\\cdot\\|$ disebut norma pada $X$ .

Diberikan norma $\\|\\cdot\\|$ pada $X$ . Didefinisikan fungsi $d: X \\times X \\rightarrow \\mathbb{R}$ dengan $d(x, y) = \\|x-y\\|$ untuk setiap $x, y \\in X$ . Jelas fungsi $d$ memenuhi sifat-sifat (1)-(4) pada metrik. Dari sini, kita menyimpulkan bahwa setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik akan tetapi terdapat metrik yang bukan norma.

Contoh:

Diberikan $X =\\mathbb{R}^n$ . Diberikan metrik diskrit $d: X x X \\rightarrow \\mathbb{R}$ , yaitu

$d(x, y)=\\left\\{ \\begin{array}{ll} 1, &\\text{ jika } x \\neq y \\\\ 0, &\\text{ jika } x=y. \\end{array}\\right. \$

Contoh:

Diberikan $X =\\mathbb{R}^n$ . Didefinisikan fungsi $d: X \\rightarrow \\mathbb{R}$ dengan \

$\\|\\bar{x}\\|_{\\infty}=\\sup\\{|x_i|:i= 1, 2, \\cdots, n\\} \\hspace{0.5cm} \\text{ untuk } p =\\infty. \$

Menggunakan sifat nilai mutlak, sifat (1)-(4) dipenuhi. Norma $\\|\\cdot\\|_\\infty$ dikenal dengan norma supremum. Jadi, ruang $(X, \\|\\cdot\\|_\\infty)$ merupakan ruang bernorma.

Ekuivalensi dua norma

Norma $\\|\\cdot\\|$ dan $\\|\\cdot\\|_*$ pada ruang $X$ dikatakan ekuivalen jika terdapat dua bilangan real positif $a, b$ sehingga \

$a\\|\\cdot\\| \\leq \\|\\cdot\\|_* \\leq b \\|\\cdot\\|. \$

Contoh:

Norma $\\|\\cdot\\|_2$ dan $\\|\\cdot\\|_{\\infty}$ ekuivalen pada $\\mathbb{R}^n$ .

Diketahui $(X, \\|\\cdot\\|)$ ruang bernorma dan $\\varepsilon >0$ . Persekitaran- $\\varepsilon$ dari $x \\in X$ adalah himpunan

$N_\\varepsilon(x)=\\{y:\\|x-y\\| < \\varepsilon\\}.\$

Berikut beberapa konsep di analisis real yang didefinisikan dalam ruang bernorma. Dengan mengganti persekitaran- $\\varepsilon$ pada $\\mathbb{R}$ dengan persekitaran- $\\varepsilon$ pada ruang bernorma, sifat-sifat berkaitan yang ada di konvergen, kontinu dan topologi dapat dibuktikan juga berlaku di ruang bernorma $(X, \\|\\cdot\\|)$ .

Diketahui $X$ ruang bernorma dengan norma $\\|\\cdot\\|$ .

Titik $\\bar{x}\\in X$ disebut titik limit himpunan $A \\subseteq X$ , jika untuk setiap persekitaran dari $\\bar{x}$ memuat paling sedikit satu titik $A$ yang berbeda dengan $\\bar{x}$ .
Fungsi $f: X \\rightarrow \\mathbb{R}$ dikatakan kontinu di $\\bar{x} \\in X$ jika untuk setiap $\\varepsilon >0$ , terdapat $\\delta >0$ sehingga untuk setiap $\\bar{y}\\in X$ dengan $\\|\\bar{x}-\\bar{y}\\| < \\delta$ berlaku $|f(\\bar{x})-f(\\bar{y})| <\\varepsilon$ .
Titik $\\bar{x}\\in X$ disebut limit barisan $\\{\\bar{x}_n\\}$ jika untuk setiap $\\varepsilon >0$ , terdapat $n_0 \\in \\mathbb{N}$ sehingga untuk setiap $n \\in \\mathbb{N}$ dengan $n \\geq n_0$ berlaku $\\|\\bar{x}_n -\\bar{x}\\|< \\varepsilon.$

Mari Belajar Bersama Kami!

Definisi Ruang Bernorma

Definisi Norma

Ekuivalensi dua norma

Mari Belajar Bersama Kami!

Submit a Comment Cancel reply